¿Es esta extensión de la conjetura de Goldbach obviamente falsa?

Question

Conjetura de Goldbach es:

Cada número entero par mayor que $2$ puede expresarse como la suma de dos primos.

La extensión de la conjetura de Goldbach es:

Cada número de $p\mathbb{Z}$ mayor que $p$ puede expresarse como la suma de $p$ primos

donde $p\mathbb{Z}=\lbrace 0, \pm p, \pm 2p, \pm3p,\dots\rbrace$ .

¿Puede encontrar un contraejemplo?

Por ejemplo, si $p=5$ :

• $10=2+2+2+2+2$
• $15=3+3+3+3+3$
• $20=2+3+3+5+7$
• ...
• $100=47+2+17+17+17$

¿Quién puede hacer esta programación?

Answer 1

En primer lugar supondremos que la conjetura de Goldbach es cierta, por lo que dado un número entero $n=kp$ con $k\geq 4$ ( $k=3,2$ son fáciles), demostraremos que $n$ es la suma de $p$ primos.

Si $p=2,$ es la conjetura de Goldbach y es verdadera, así que podemos asumir que $p>2$ .

Caso 1 Si $n$ es par, escribamos $$n=\underbrace{2+\cdots+2}_{p-2}+(n-2(p-2)),$$ y porque $(n-2(p-2))=(k-2)p+4\geq4$ y es par, entonces se puede expresar como la suma de dos primos. Por lo tanto, $n$ es la suma de $p$ primos.

Caso 2 Si $n$ es impar, escribamos $$n=3+\underbrace{2+\cdots+2}_{p-3}+(n-2(p-3)-3),$$ y porque $(n-2(p-3)-3)=(k-2)p+3\geq4$ y es par, entonces se puede expresar como la suma de dos primos. Por lo tanto, $n$ es la suma de $p$ primos.

Así que demostramos la siguiente afirmación: $$\text{Goldbach's conjecture} \implies \text{Extension of Goldbach's conjecture}$$

Pero la conjetura de Goldbach es un caso particular de la extensión de la conjetura de Goldbach (cuando $p=2$ ), por lo tanto: $$\text{Goldbach's conjecture} \iff \text{Extension of Goldbach's conjecture}$$

Conclusión: La extensión de la conjetura de Goldbach, tal y como la defines, es equivalente a la conjetura de Goldbach en sí misma y, por lo tanto, nadie podrá encontrar un contraejemplo o demostrarla a menos que resuelva la conjetura de Goldbach.

Answer 2

Supongamos que Goldbach es cierto. Sea n su número candidato. Entonces n es par o impar. Si es par, entonces es la suma de 2 primos. Si impar entonces n - 3 es par por lo que n es la suma de 3 primos. En ningún caso se necesitan más de 3 primos.