$I,I_1,...,I_n$ Ser ideales en un anillo conmutativo con unidad tal que$I \subseteq \cup_{j=1}^n I_j$, entonces es$I\subseteq I_k$ para algunos$k$?

Question

Sea$I,I_1,...,I_n$ ideales en un anillo conmutativo con unidad tal que$I \subseteq \cup_{j=1}^n I_j$, entonces es cierto que$I\subseteq I_k$ para algunos$k$? Sé que el resultado es verdadero para$n=2$, y para general$n$ dado$I_1,..,I_n$ son ideales primos. Pero no puedo probar o refutarlo para general$n$ para ideales arbitrarios. Por favor ayuda . Gracias por adelantado

Answer 1

Creo que este es el contraejemplo estándar. El anillo es$\mathbb Z_2 [x,y]$. Luego considere estos ideales:$$ I_1 = ( x, y^2), \ \ \ I_2 = ( y, x^2), \ \ \ I_3 = ( x + y, xy ), \ \ \ \ \ \ \ \ \ I = ( x , y ).