Esta es mi primera pregunta, por favor, perdóname si me equivoco en algo, ya que no creo que me permita editar la pregunta más tarde.
Por lo tanto, permítanme explicar el tipo de matrices que estoy hablando. Pensar en un $n\times n$ matriz cuadrada, y pensar de una secuencia de $n^2$ consecutivos plazas de partida en $k^2$ (la elección más natural de ser $k=1$). Ahora colocar los cuadrados en la matriz como si estuviera escribiendo, fila por fila. Me atrevería a inventar una notación para estos "Plaza de la Matrice llenos Consecutivos de Cuadrados": $SMCS(n,k)$. Así tenemos, por ejemplo: $$ CML(3,4)= \begin{bmatrix} 4^2 & 5^2 & 6^2 \\ 7^2 & 8^2 & 9^2 \\ 10^2 & 11^2 & 12^2 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 16 & 25 & 36 \\ 49 & 64 & 81 \\ 100 & 121 & 144 \\ \end{bmatrix} $$ Yo no era capaz de encontrar nada acerca de las matrices como estos ni aquí ni en otros lugares. Probablemente no son de ningún matemático de interés. Mi interés se inicia a partir de una conferencia que, años atrás, cuando el profesor nos hizo notar que el "Cuadrado Matrice lleno de Enteros Consecutivos de" 1 a 9 -es la célula teclado del teléfono! Voy a llamar a $SMCI(3,1)$- es singular. Que es: $$ \det \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix}=0 $$ Me parece muy intuitiva que esta elegante propiedad se mantiene para matrices de orden superior y aunque a partir de un diferente número entero, que es $$ \det \left[SMCI(n,k)\right]=0 \qquad n\geqslant 3, \;\forall k $$ Puedo reconocer un patrón claro (donde el medio culumns son un "promedio" de los que están en sus lados), de modo que me siento aliviado de la necesidad de proporcionar una explícita la prueba de este resultado, que no debería ser demasiado difícil de todos modos.
Ahora estoy buscando los determinantes de las matrices llenas de plazas. Sin sorpresa me encuentro nonsingular matrices de orden $2$. Luego, con algo de esperanza, miro $SMCS(3,1)$ (el teléfono celular teclado con cada número al cuadrado), pero me parece que el determinante es $-216$. Así que me encuentro admitir que, comprensiblemente, la propiedad no es para matrices llenas de poderes. Sin embargo, ocurre algo curioso: el resultado es el mismo, incluso si puedo tomar un punto de partida diferente, que es $$ \det\left[SMC(3,k)\right]=-216\qquad \forall k $$ Esto fue una sorpresa, pero era bastante sencillo probar con algunas directa álgebra cálculos.
Aquí viene el gran problema. Fui mirando a órdenes superiores, preguntándose si había una característica constante para cada una de las $n$. En lugar de... $0$'s comenzó a aparecer de nuevo! Me incrédulo! He crecido convencido de que $$ \det \left[SMC(n,k)\right]=0 \qquad n\geqslant 4, \;\forall k $$ pero el intento de una prueba directa, aunque sólo sea por $n=4$, estaba fuera de la cuestión. Y mucho menos de un general de la prueba por cualquier $n$, que es lo que realmente me interesaba mucho, pero yo no lo saben ni por dónde empezar. Yo realmente no necesita la rigurosa prueba, lo que me gustaría es estar seguro de la validez de la propiedad, y, posiblemente, una manera de "entender" de una manera similar a lo que se podía hacer con el $SMCI$ matrices, para estar "convencido" de que el resultado. Puede alguien ayudarme a mi con esto? Gracias!
Wow, genial, me consiguió! Me tomó un poco de esfuerzo, pero lo tengo todo, gracias a JeanMarie! Perdóname por regresar con un poco de retraso, pero he visto que la mejora constante de su respuesta, y teniendo en cuenta mi zona horaria de desventaja que tenía que entregar para el día.
La comprensión de su "truco" que permite ampliar fácilmente la propiedad incluso órdenes superiores; por ejemplo, las filas (o columnas) de cubos consecutivos dar singulares de matrices a partir de las $5 \times 5$. Si extiendo la notación "Matriz Cuadrada llenos Consecutivos de Poderes", voy a escribir
$$ \det \left[SMCP(p,n,k)\right]=0 \qquad n\geqslant p+2, \;\forall k $$
No pude resistir a explorar el caso justo antes de la primera singularidad ocurrencia, cuando la matriz es mayor que el poder sólo por $1$. Me refiero, en el caso general, ya que es fácil de algebraicamente comprobar que
$$ \det \left[SMCP(1,2,k)\right]=-2 \qquad \forall k $$
$$ \det \left[SMCP(2,3,k)\right]=-216 \qquad \forall k $$
Hice un par de intentos directos para encontrar que (probablemente $\forall k$, pero no me atrevo a escribirlo)
$$ \det \left[SMCP(3,4,k)\right]=5308416 $$
$$ \det \left[SMCP(4,5,k)\right]=7776 \cdot 10^{10} $$
Yo esperaba a inferir una regla a partir de esta secuencia de inicio, y probar una prueba en una etapa posterior, pero no puedo ver nada. Ni creo que el kernel truco puede ser útil en este. Así que la pregunta ahora sería
$$ \det \left[SMCP(p,n,k)\right]=\;? \qquad \forall k \;\textrm{ cuando }\; n=p+1 $$
pero no sé lo difícil que puede ser para annswer, y no voy a pedirle a alguien un eccessive esfuerzo sobre algo que ahora ha ido más allá de lo que yo estaba buscando en primer lugar. Lo dejo aquí por si alguien es capaz de ver fácilmente algo que doensn no se me ocurren. De nuevo muchas gracias!
