Número de condición de matriz de Interpolación polinómica

Question

Queremos interpolar una función de $\,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ en el intervalo de $[0,1]$ con, digamos, monomials. Supongamos que hemos establecido $\left\{x_i\right\}_{i=0}^{n}$ $n+1$ $x_i\in\left[0,1\right],\; i = 0,\dots, n,$ que son no distribuidos de manera uniforme y de la que conocemos los valores de $\,f_i = f\left(x_i\right)$ de la función $\,f$.

Siguiendo los estándares de técnicas de interpolación, podemos escribir la aproximación polinómica $P_n(x)$ como combinación lineal de monomials:

$$P_n\left(x\right) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_nx^n = \sum_{i=0}^{n} a_ix^i$$

donde $a_i\in \mathbb R,\; i=0,\dots,n$ son desconocidos coeficientes necesitamos determinar. La estimación de monomials en puntos de $\left\{x_i\right\}_{i=0}^{n}$ de los rendimientos del sistema de ecuaciones lineales

$$\underbrace{ \begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \\ \end{bmatrix}}_{\quad\;\estilo{display: inline-block; transform-origin: 50% 50% 0px; transform: rotate(30deg); }{:= \boldsymbol{M}} } \cdot \underbrace{ \begin{bmatrix}a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_n\end{bmatrix} }_ {\quad\estilo{display: inline-block; transform-origin: 50% 50% 0px; transform: rotate(30deg); }{:= \overline{\boldsymbol{un}}} } = \underbrace{\begin{bmatrix}f_0 \\ f_1 \\ \vdots \\ f_n\end{bmatrix} }_ {\quad\estilo{display: inline-block; transform-origin: 50% 50% 0px; transform: rotate(30deg); }{:= \overline{\boldsymbol{f}}} } %\qquad \ffi \qquad %\boldsymbol{M} \cdot\overline{\boldsymbol{a}} = \overline{\boldsymbol{f}}$$

que podemos reescribir como $\;\boldsymbol{M} \cdot\overline{\boldsymbol{a}} = \overline{\boldsymbol{f}}$.

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Estoy tratando de averiguar cómo se hace condición de número de $\,\kappa\left(\boldsymbol{M}\right)$ de la matriz depende de la distancia mínima $h$ entre los puntos de $\left\{ x_i \right\}_{i=0}^{n}$:

$$h=\min_{i,j=0\ldots n} \left\lVert x_i - x_j\right\rVert.$$

Intuitivamente $\kappa\left(\boldsymbol{M}\right)$ debe crecer como $h\to0$, que coincide con los resultados de experimentos numéricos. Sin embargo, estoy desorientado sobre el tipo exacto de relación entre el$\kappa$$h$. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Seguramente usted no puede obtener cualquier utilidad límite superior de $h$. Si usted traducir todos los puntos de datos $x_i$ por la misma cantidad $t$, $h$ permanece sin cambios, pero la matriz se vuelve más y más cerca de singular al $t\to\infty$.

Para los límites inferiores, si buscas en google "matriz de vandermonde condición de número", hay un puñado de resultados que nos parecen relevantes. E. g., el resultado de la primera, Cuán Malos son Matrices de Vandermonde por Victor Pan (2015, arXiv:1504.02118) se ve bastante interesante. Para citar el autor:

Nuestros resultados indican que la condición de número de $n\times n$ matriz de Vandermonde es exponencial en $n$ menos que sus nudos son más o menos igualmente espaciados en o sobre el círculo unidad $C(0,1)$.

Ha obtenido varias cotas inferiores para la condición de número. Usted puede ver si son útiles o si usted puede relacionarse a su $h$.