¿Cuándo es $$f(x) = f'(x)\int{f(x)}dx$$ ? Se me acaba de ocurrir el problema pero no he podido resolverlo yo mismo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Podemos escribir su ecuación de la siguiente manera sustituyendo $y+C_1=\int f(x)$ $$y'=(y+C_1)y''$$ $$y''=y'/(y+C_1)$$ Ahora, al integrar cada lado se obtiene $$y' = \ln({y+C_1})+C_2$$ $$\frac{1}{\ln{(y+C_1)}+C_2}y'=1$$ Y hasta aquí llegaremos. $$\int \frac{1}{\ln{(y+C_1)}+C_2}dy=x$$ Por lo tanto, el quid de la cuestión pasa por encontrar $\int \frac{1}{\ln{y}}dy$ para la que no existe una forma cerrada. A partir de aquí tomaríamos la inversa de esta función de forma no cerrada, y luego tomaríamos la derivada de la misma...
Así que no funcionó tan bien como uno esperaría, pero buena idea. Estoy de acuerdo en que es una función genial, que es igual al producto de su derivada y su integral, a pesar de que no va a tener una forma cerrada agradable.
