$n^2+np$ es un cuadrado perfecto

Question

Deje que $p > 2$ ser un primo. Probar que existe exactamente un entero positivo $n$ de tal manera que $n^2+np$ es un cuadrado perfecto.

Intenté limitar la expresión $n^2+np$ entre dos cuadrados perfectos, pero no pude porque no había un término constante. Sabemos que $n^2+np < \left (n+ \frac {p}{2} \right )^2$ pero no pude conseguir un límite más bajo. ¿Cómo podemos resolver la cuestión?

Answer 1

Primero comprobamos que $p$ no puede dividir $n$ . Tenga en cuenta que si $n= pk$ entonces $n^2 + np = p^2(k^2+k)$ . Ahora bien, esto no puede ser un cuadrado perfecto porque $k^2 < k^2+k < (k+1)^2$ .

Si $n$ es relativamente primo para $p$ Entonces $n+p$ es relativamente primo para $n$ y $n^2+np = n(n+p)$ es un cuadrado perfecto precisamente cuando ambos $n$ y $n+p$ son cuadrados. Si escribimos $n= i^2, n+p=j^2$ Entonces $p = j^2-i^2 = (j-i)(j+i)$ . Como $p$ es primordial, tenemos $j-i=1, j+i = p$ para que $i = (p-1)/2$ y $j = (p+1)/2$ .

Esto muestra que $n = (p-1)^2/4$ es el único valor para el cual $n^2+np$ es un cuadrado perfecto.

Answer 2

$$n^2+np=k^2 \to n^2+np-k^2=0 \\ n= \frac {-p+ \sqrt {p^2+4k^2}}{2}$$

Así que..,

$$p^2+4k^2=q^2 \to p^2=(q-2k)(q+2k)$$

una vez $p>2$ es primordial y $n>0$ (lo que significa $k \ne 0$ y luego $q-2k \ne q+2k$ ), entonces la única posibilidad es escribir

$$q-2k=1 \\ q+2k=p^2$$

lo que nos da

$$q= \frac {p^2+1}{2}$$

y luego

$$n= \frac {-p+ q}{2}= \frac {p^2-1}{4}$$

Answer 3

Vamos a encontrar todos números enteros $n$ de tal manera que $n^2+pn$ es un cuadrado, entonces muestra que sólo uno de ellos es positivo.

Si $n^2+pn=m^2$ entonces $pn=(|m|-n)(|m|+n)$ así que sin pérdida de generalidad podemos asumir $m=n+pk$ para algunos enteros $k$ . Ahora escribiendo

$$n^2+pn=(n+pk)^2=n^2+2pkn+p^2k^2$$

vemos

$$(1-2k)n=pk^2$$

Pero $ \gcd (1-2k,k^2)=1$ así que debemos tener $(1-2k) \mid p$ . Esto da cuatro posibilidades (usando el hecho de que $p$ es un impar Prime):

$$ \begin {align} 1-2k=1& \implies k=0 \implies n=0 \\ 1-2k=-1& \implies k=1 \implies n=-p \\ 1-2k=p& \implies k={1-p \over2 } \implies n= \left (1-p \over2\right )^2 \\ 1-2k=-p& \implies k={1+p \over2 } \implies n=- \left (1+p \over2\right )^2 \\ \end {align}$$

Sólo la tercera posibilidad tiene un valor positivo para $n$ .