Escribir un operador diferencial dado en términos de otro operador diferencial dado con núcleo un subconjunto del primero

Question

Supongamos que tengo dos operadores diferenciales $S, T$ con la propiedad de que $\ker S \subseteq \ker T$ . ¿Es posible explotar esta propiedad para escribir $T$ en términos de $S$ de forma compacta?

Me encantaría una respuesta sólo para este ejemplo concreto: Dejemos que $S$ sea la derivada schwartziana, $$S[f] := \frac{f'''}{f'} - \frac{3}{2}\left(\frac{f''}{f'}\right)^2,$$ y $T$ el operador $$T[f] := \frac{f''''}{f''} - \frac{4}{3} \left(\frac{f'''}{f''}\right)^2 .$$ El núcleo de $T$ consiste en las funciones racionales de la forma $$x \mapsto \frac{a_2 x^2 + a_1 x + a_0}{b_1 x + b_0}$$ y el núcleo de $S$ consiste en las transformaciones lineales fraccionarias, es decir, las funciones racionales de la forma anterior con $a_2 = 0$ .

¿Cómo se puede escribir $T[f]$ en términos de $S[f]$ de manera que se aproveche la contención $\ker S \subset \ker T$ ?

Answer 1

No estoy seguro de que esto pueda considerarse un contraejemplo, pero permítanme ofrecerlo de todos modos. Yo diría que la respuesta es no, no hay ninguna forma conveniente de hacerlo.

Consideremos estos operadores diferenciales sobre funciones suaves $\mathbb R\to\mathbb R$ : $$ Af=f''\\ Bf=(1+(f')^2)f''\\ Cf%=\frac{d}{dx}\left[(1+(f')^2)f''\right] =(1+(f')^2)f'''+2f'(f'')^2. $$ Ahora $\ker A=\ker B=\{x\mapsto a+bx;a,b\in\mathbb R\}$ , pero no puede expresar $Af(x)$ en términos de $Bf(x)$ o viceversa con cualquier fórmula local. Difieren en algo dependiendo de $f'$ pero parece que no hay forma de escribir la primera derivada en términos de $Af$ o $Bf$ .

El operador $Cf$ puede escribirse en términos de $Bf$ desde $Cf=(Bf)'$ . Pero parece que $Cf$ no puede escribirse en términos de $Af$ ya que también necesitarías la primera derivada. Tenga en cuenta que $\ker B=\ker A\subsetneq\ker C$ .

Si te refieres a escribir $Tf$ en términos de $Sf$ (y sus derivados) y los derivados de $f$ de orden menor que el grado de $Tf$ Eso podría ser posible, supuse que se refería a usar sólo $Sf$ y sus derivados. Ciertamente funciona para mis operadores de ejemplo y también para los tuyos: Parece que es posible escribir $Tf$ utilizando $(Sf)'$ , $f'$ y $f''$ .