Ecuaciones polinómicas $p(A, B) = 0$ para las matrices que garanticen $AB = BA$

Question

Deje $k$ ser un campo con características diferentes de $2$, e $A$ $B$ $2 \times 2$ matrices con entradas en $k$. Entonces podemos demostrar, con un poco de arte, que $A^2 - 2AB + B^2 = O$ implica $AB = BA$, por lo tanto $(A - B)^2 = O$. Se trataba de una sorpresa para mí cuando yo primero logró demostrar esto, para esto parecía bastante trivial para mí.

Tengo curiosidad de saber si es similar o más en general el resultado de las ecuaciones polinómicas de las matrices que se asegura de conmutatividad. (Por supuesto, no consideramos los casos triviales, tales como el polinomio $p(X, Y) = XY - YX$ correspondiente a colector)

p.s. Esta pregunta es por pura curiosidad. No sé aún este tipo de problema es que vale la pena considerar, así que usted puede considerar esta cuestión como un recreo.

Answer 1

Tu pregunta es muy interesante, por desgracia eso no es una respuesta completa, y de hecho, no una respuesta, o más bien una respuesta negativa.

Se podría pensar, como generalización de $A^2+B^2=2AB$, de la siguiente ecuación de matriz en $\mathcal M_n\Bbb C$ : $$ (E) :\ \sum_{l=0}^k (-1)^k \binom kl A^{k-l}B^l = 0. $$

Esta ecuación implica la conmutatividad si y sólo si $n=1$$(n,k)=(2,2)$, que es el caso que estudió.Sin embargo, la ecuación (E) tiene una propiedad notable : si $A$ $B$ satisfacer (E), a continuación, sus características polinomios son iguales. ¿No es increíble ? Usted puede echar un vistazo a este artículo para una prueba.

Answer 2

Yo no soy ni un experto en este campo ni en el campo sin relación de los hechos que voy a citar, así que esto es más un tiro en la oscuridad. Pero: Dado un conjunto de matrices, el problema de si hay alguna combinación en el que se debe multiplicar ellos con resultado de cero es indecidible, incluso para la relativamente pequeña de los casos (como las dos matrices de tamaño suficiente o un bajo número fijo de $3\times3$ matrices).

Una solución a uno de los lados de este problema (la "existe un polinomio tal que..." lado) parece más difícil (aunque no tengo ni idea más allá de la intuición si realmente es!) de la mortalidad de los problemas arriba mencionados. Si que es verdad, entonces sería, al menos, sugieren que la $AB = BA$ no garantiza la existencia de una solución (aunque podría suceder).

En cualquier caso, el hecho de que la mortalidad problema es decidable para $2 \times 2$ matrices de, al menos, muestra que la complejidad de estos problemas aumenta rápidamente con la dimensión, lo que podría explicar por qué el resultado de $2$ no extender fácilmente a las dimensiones superiores.

Disculpas por la vaguedad de todo esto, sólo pensé que podría darle a alguien con más experiencia en el campo una dirección diferente para pensar el problema. Si alguien quiere ver de esa manera, este papel tiene los resultados mencionados, así como referencias a bibliografía relacionada con el tema.