Noción geométrica de adición para la línea proyectiva real

Question

La línea proyectiva real $\mathbb{RP}^1 = \mathbb{R} \cup {\infty}$ suele identificarse con (o definirse como) el conjunto de líneas que pasan por el origen en $\mathbb{R}^2$ . Así, el número $m\in \mathbb{R}$ corresponde a la única línea con pendiente finita $m$ y $\infty$ corresponde a la línea vertical única.

Algebraicamente, podemos definir el extensiones habituales de suma, multiplicación, negativos y recíprocos de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{RP}^1$ con algunos casos sin definir. Mi objetivo es encontrar una buena interpretación geométrica de estas operaciones.

Geométricamente, dada una línea $a \in \mathbb{RP}^1$ la inversa aditiva $-a$ y recíproco $\frac{1}{a}$ pueden construirse claramente como reflexiones respectivas sobre las líneas $0$ y $1$ .

De forma similar, la multiplicación de los números reales extendidos proyectivamente es sólo la composición de las relaciones lineales subyacentes, y puede calcularse geométricamente pasando a $\mathbb{R}^3$ . Para construir $a\cdot b$ , se extiende primero la línea $a$ en XY perpendicularmente a un plano, luego hace lo mismo con la línea $b$ en YZ, y finalmente proyecta la intersección de estos dos planos sobre XZ para encontrar el producto deseado:

Esto permite encontrar, por ejemplo, un sentido coherente a la expresión $0 \cdot \infty$ incluyendo los elementos de los dos Grassmanianos triviales $\bot \in \mathrm{Gr}(0, 2)$ y $\top \in \mathrm{Gr}(2, 2)$ entre los posibles resultados de la multiplicación, como se señala aquí . De hecho, la composición de dos funciones o relaciones cualesquiera $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ se puede realizar de esta manera utilizando sus gráficos en $\mathbb{R}^2$ .

Por otro lado, hasta ahora no he podido encontrar ninguna interpretación geométrica de la adición en la línea proyectiva. Así que mi pregunta es:

¿Cómo podemos construir la suma de dos líneas en $\mathbb{RP}^1$ ¿Geométricamente?

Para ser más específico, por "geométricamente" me refiero en el sentido de las construcciones clásicas de compás y arista recta y su obvia generalización a dimensiones superiores (por ejemplo, se puede construir un plano que pase por tres puntos no alineados, una esfera dada un punto y un radio, tomar intersecciones, etc.). Alternativamente, dado que las tres nociones anteriores siguen siendo válidas si sustituimos las líneas por las gráficas de relaciones arbitrarias, podría ser interesante buscar una respuesta que sea generalizable en este sentido (si es que existe). En cualquier caso, una construcción aceptable debería ser capaz de reproducir la suma de números reales, y las identidades $\infty + a = a + \infty = \infty$ para cualquier $a \neq \infty$ .

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Lo que he probado

Lo primero que se me ocurrió es utilizar una línea vertical auxiliar a una distancia no nula del origen:

Desgraciadamente, este enfoque se rompe en el caso de las líneas verticales. La definición de adición para las relaciones lineales que aparece en el enlace anterior parece sugerir una construcción tridimensional como en el caso de la multiplicación, pero no he conseguido encontrar algo que funcione.

Answer 1

Dibuja una línea vertical $\ell$ que cumple con las dos líneas $a$ y $b$ . (Esto es siempre posible: si una o ambas líneas son verticales, utilízalas). Elige un punto $p$ común a $a$ y $\ell$ y, de forma similar, un punto $q$ común a $b$ y $\ell$ . ( $p$ es único a menos que $a$ es vertical, en cuyo caso es cualquier punto de $a$ lo mismo ocurre con $q$ y $b$ .) Construir un tercer punto $r$ en $\ell$ cuyo $y$ -es la suma de las de $p$ y $q$ . La línea que pasa por el origen y $r$ es $a+b$ .

Answer 2

Acabo de encontrar otra construcción que satisface los requisitos dados. Ya sé que llega con un año de retraso, pero la pongo aquí como solución complementaria por si alguien la encuentra interesante. La construcción se basa en la de la multiplicación que expuse en la pregunta.

Trabajamos en $\mathbb{R}^4$ coordinado por $(x,y,z,t)$ . La configuración inicial es una línea $a$ en el plano XY y una línea $b$ en el plano XZ (nótese la ligera diferencia con el caso de la multiplicación; el eje compartido aquí es el eje X).

Para construir $a+b$ se extiende la línea $a$ perpendicularmente a un hiperplano en $\mathbb{R}^4$ y luego hace lo mismo con la línea $b$ y luego encuentra la triple intersección entre estos dos hiperplanos y un tercer hiperplano dado por la ecuación $y+z-t=0$ . Finalmente, se proyecta esta intersección sobre el plano XT para encontrar la suma deseada.

Es sencillo comprobar, por ejemplo, que las líneas con pendiente finita dadas por las ecuaciones $$a: \begin{cases} y=m_1 x\\ z=0\\ t=0\end{cases}$$ en el plano XY y $$b: \begin{cases} z=m_2 x\\ y=0\\ t=0\end{cases}$$ en el plano XZ suman correctamente a la línea $$a+b: \begin{cases} t=(m_1+m_2) x\\ y=0\\ z=0\end{cases}$$ en el plano XT. Del mismo modo, la construcción da $\infty + a = a + \infty = \infty$ para cualquier $a$ según sea necesario (incluyendo $\infty$ ).

Esta construcción tiene el inconveniente de que no se puede visualizar fácilmente como las demás, ya que requiere cuatro dimensiones. Sin embargo, tiene la ventaja de no requerir ninguna elección arbitraria, y sigue funcionando si se sustituyen las líneas por las gráficas de funciones arbitrarias en $\mathbb{R}^2$ . En ese sentido, complementa muy bien la respuesta aceptada de Rahul.