¿Puede una matriz idempotente ser compleja?

Question

Una matriz $A$ se llama idempotente si $A^2 = A$ . Me pregunto si dicha matriz puede ser compleja. ¿Alguien puede ayudar a dar un ejemplo o prueba de que tiene que ser real? Gracias.

Answer 1

A suponer que por "puede $A$ ser complejo", quiere decir "puede $A$ tener entradas no reales". Pues sí, puede. Por ejemplo, tomemos $$ A = \pmatrix{1&i\\0&0} $$ En general: para cualquier vector-columna complejo $x$ , $A = \frac{xx^*}{x^*x}$ (donde $*$ denota la transposición conjugada) es una matriz de este tipo.

Answer 2

Una proyección a un subespacio es idempotente. Por lo tanto, $A$ no tiene ninguna razón para ser real. Por ejemplo, tomemos un subespacio $S$ de $\mathbb{C}^2$ y $A$ sea la matriz de la proyección sobre $S$ con respecto a la base estándar.

Answer 3

Cualquier matriz $A = \pmatrix{a&b\\c&1-a}$ será idempotente siempre que $a^2+bc=a$