Tras mi pregunta en Meta, he puesto esto como una nueva pregunta; originalmente fue preguntado por Gmgfg, y cerrado debido a la falta de contexto, los antecedentes, y se muestra el esfuerzo.
Deje $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ ser una función continua en a $[a,b]$ y diferenciable en a$(a,b)$$f(a)=f(b)=0$. Demostrar que no existe $c\in(a,b)$ tal que $f'(c)+f(c)=f(c)f'(c)$.
Ahora, dada la hipótesis de este parece que debería ser una aplicación directa del teorema de Rolle. Sin embargo:
como lo que puedo decir que no hay un simple auxiliar de la función $\Phi$ tal que $\Phi'= f+f'-f\cdot f'$ a la que uno se podría aplicar el teorema de Rolle. (Si es que la hay, yo no lo encuentres.)
de hecho, mientras que el lado derecho podría provenir de $\left(\frac{f^2}{2}\right)'$; es sobre todo el lado izquierdo que se ve difícil de manejar (y no está clara la ventaja que se puede ver en la introducción de una antiderivada $F$ $f$ sea $(F+f)'$).
He verificado la declaración de algunas de las funciones que se me ocurría, tales como $x\mapsto x(1-x)$$x\mapsto \sin \pi x$$[a,b]=[0,1]$. Así que, en ese sentido, parece contener, al menos, contra básica comprobaciones de validez.
Sin embargo, lo que me molesta es la falta de "homogeneidad." Generalmente, en cosas como las que estoy acostumbrado a decir que "sin pérdida de generalidad, se puede suponer que $[a,b]=[0,1]$." No parece ser el caso aquí: si, dada $f$, se define el $g\colon[0,1]\to\mathbb{R}$$g(x) = f((b-a)x+a)$, encontrando $c\in(0,1)$ tal que $g'(c)+g(c)=g(c)g'(c)$ no directamente el rendimiento de $c'$ tal que $f'(c')+f(c')=f(c')f'(c')$ (sino más bien daría $c'$ tal que $f'(c')+(b-a)f(c')=f(c')f'(c')$, si no me equivoco).
Así que, en resumen: ¿es cierto? Y como para demostrar o refutar - estoy en una pérdida, y avergonzado.
