¿Son $\Bbb R^2\setminus \Bbb Q^2$ y $\Bbb R^2\setminus \Bbb Q^2\cup \{(0,0)\}$ homeomorfa?

Question

Como dice el titulo me preguntaba (vagamente inspirado por una pregunta de Hatcher preguntando sobre el grupo fundamental del primer espacio) si $\Bbb R^2\setminus \Bbb Q^2$ y $\Bbb R^2\setminus \Bbb Q^2\cup \{(0,0)\}$ son homeomórficos.

Mi corazonada es que son, tienen las mismas propiedades en cuanto a conectividad, compacidad y separación axiomas se refieren, apoyar este sentimiento, pero no he sido capaz de probar (o refutar) este hecho.

Answer 1

Es un teorema debido a Brouwer (1913) que para cualquiera de los dos densa contables subconjuntos $A, B\subset R^n$, hay un homeomorphism $R^n\to R^n$ envío de $A$ $B$bijectively. Véase también "Topología General" por Engelking (él tiene esto como un ejercicio 4.5.2, con una detallada de la sugerencia). Si recuerdo correctamente, Hirsch en "Topología Diferencial" también tiene esto como un ejercicio donde en lugar de un homeomorphism pide un diffeomorphism. Por último,

M. Morayne, Medir la preservación de la analítica de diffeomorphisms de contable de conjuntos densos en $C^n$ $R^n$ , Colloq. De matemáticas. 52 (1987), no. 1, 93-98.

demuestre que para cualesquiera dos contables densa subconjuntos $A, B$ en $R^n$, $n\ge 2$, existe una analítica de volumen-la preservación de diffeomorphism de $R^n\to R^n$ envío de $A$ $B$bijectively.

Así, la conclusión es que sus espacios se homeomórficos.