División de campo de $ x^2 + 1$ $\mathbb{Z_3}$

Question

Tengo el siguiente ejercicio:

Encontrar la división de campo para el polinomio $x^2 + 1$$\mathbb{Z_3}$.

Mi solución:

En primer lugar, debemos tratar de resolver la ecuación de $x^2 + 1 = 0$, por lo tanto $x^2 = 2$, y necesitamos de $\sqrt2$. Agregar esta raíz a nuestro nuevo campo y hemos $\{0, 1, 2, \sqrt2, 2\sqrt2, 1+\sqrt2, 2 + \sqrt2, 1+2\sqrt2, 2 + 2\sqrt2 \}$ y esa es nuestra división de campo en donde las raíces de $x^2 + 1 = 0$$\sqrt2$$2\sqrt2$.

Es correcto o no? Y yo creo que no hay algoritmo exacto de cómo construir un fraccionamiento campo. Cómo hacerlo correctamente?

Answer 1

Con la ayuda de los comentaristas me enteré de que técnicamente podemos operar de la manera como he sugerido en mi pregunta. Es decir, tomar una raíz (por ejemplo, $\sqrt2$ como en mi ejemplo) y empezar a ampliar nuestro campo de la adición de todas las combinaciones lineales $\{a + \sqrt2b : a,b\in \mathbb{Z}_p \}$ a nuestro nuevo campo.

En la manera más común si quieres construir un fraccionamiento campo para $\mathbb Z_p$ y el polinomio $f$ grado $k$ necesitamos tener una raíz $\beta \notin \mathbb Z_p$ de este polinomio. Y de nuestra división de campo será el siguiente conjunto $\{a_0 + a_1 \beta^1 + \ldots + a_l\beta^l: a_i \in \mathbb Z_p \text{ and } l : b^l \in \mathbb{Z}_p \}$. Si derivado de campo $ GF(p^k)$ no es una división de campo debemos cometer uno más de la iteración de la extensión que se tome una raíz $\gamma \notin GF(p^k)$ y construir el conjunto de todas las combinaciones lineales de esta raíz y sus grados. Así que usted tendrá que repetir este paso hasta que no se obtenga una división de campo.

Para seguir leyendo, me gustaría recomendar este útil y sencillo artículo.