Una función convexa es diferenciable en todo pero numerable muchos puntos

Question

Deje $f:\Bbb R\to\Bbb R$ ser una función convexa. A continuación, $f$ es diferenciable en todos, pero countably muchos puntos.

Está claro que una función convexa puede no ser diferenciable en countably muchos puntos, por ejemplo,$f(x)=\int\lfloor x\rfloor\,dx$.

Acabo de hacer este teorema, pero mi heurística de por qué debe ser cierto es que la única manera posible de no-diferenciable singularidades me imagino en un convexo función de las esquinas, y estos implican un salto de discontinuidad de la derivada, por lo que desde la derivada es creciente (donde está definido), se obtiene una desigualdad como $f'(y)-f'(x)\ge \sum_{t\in(x,y)}\omega_t(f')$ donde $\omega_t(f')$ es la oscilación en $t$ (límite de derecha menos el límite de la izquierda) y la suma es sobre todos los números reales entre $x$$y$. Ya que la suma es convergente (suponiendo que $x\le y$ son los puntos tales que $f$ es diferenciable en a$x$$y$, de modo que esto tiene sentido), no sólo puede ser countably muchos de los valores en la suma no-cero, y en todos los demás puntos de la oscilación es cero y por lo que la derivada existe. Por lo tanto, hay sólo countably muchos no-diferenciable puntos en el intervalo de $(x,y)$, así como existe una adecuada secuencia $(x_n)\to-\infty$, $(y_n)\to\infty$ de diferenciables puntos, el número total de no-diferenciable puntos es una contables de la unión de conjuntos contables, que es contable.

Además, tengo la conjetura de que el conjunto de no-diferenciable puntos ha vacío interior-de-cierre, es decir, no se puede hacer una función que no es diferenciable en los números racionales, pero como la discusión anterior muestra que todavía hay un montón de agujeros en la prueba (y estoy haciendo un montón de suposiciones injustificadas con respecto a la derivada ya siendo algo bien definido). ¿Alguien sabe cómo acercarse a esa declaración?

Answer 1

El conjunto de puntos de nondifferentiability puede ser densa.

Pero usted correctamente conjeturó que es en la mayoría de los contables. En primer lugar, la convexidad implica que para $s<u\le v<t$ hemos $$ \frac{f(u)-f(s)}{u-s}\leq\frac{f(t)-f(v)}{t-v} \tag{1}$$ Bosquejo de la prueba de (1). En primer lugar, utilice el punto 3 de convexidad definición para mostrar esto para $u=v$. Al $u<v$, proceda como se $$ \frac{f(u)-f(s)}{u-s}\leq\frac{f(t)-f(u)}{t-u}\leq\frac{f(t)-f(v)}{t-v}\qquad \Box$$

A partir de (1) se deduce que $f$ tiene una cara de derivados de ${f}_-'$ $f_+'$ en cada punto, y la satisfacción de $$ {f}_-'(x)\le f_+'(x)\le {f}_-'(y)\le f_+'(y), \quad x<y \etiqueta{2} $$

Para cada punto donde ${f}_-'(x)< f_+'(x)$, escoja un número racional $q$ tal que ${f}_-'(x)< q< f_+'(x)$. La desigualdad (2) implica a todas estas racionales son distintos. Por lo tanto, el conjunto de puntos de nondifferentiability es en la mayoría de los contables.