Hacer la función de Möbius, totient función, la suma de los divisores y el número de divisores de forma exclusiva especificar un número?

Question

Deje $\mu\left(n\right)$ ser la función de Möbius. Deje $\phi\left(n\right)$ ser de Euler totient función. Deje $\sigma\left(n\right)$ ser la suma de los divisores y $\tau\left(n\right)$ el número de divisores de funciones. Tengo curiosidad por saber si es o no el sistema:

$\mu\left(n\right)=a$

$\phi\left(n\right)=b$

$\sigma\left(n\right)=c$

$\tau\left(n\right)=d$

tiene más de una solución.

Motivación: recuerdo un número de la teoría de la tarea que se me había donde nos dieron valores particulares para cada una de estas funciones y pidió a recuperar el número original. Yo no puedo por la vida de mí recordar cómo (o si) me las arreglé para resolver este problema. Traté de trabajar fuera un general de la prueba, pero no podía. También escribí un bucle en madera de arce para comprobar contraejemplos, pero no han encontrado todavía. Siento que esto es algo que debería saber, pero probablemente se han olvidado de los hechos pertinentes para abordar este problema.

Answer 1

La respuesta es No. El más pequeño de los contraejemplos que pude encontrar son {1836, 1824), {5236, 4960}, {5742, 5112}, {6764, 6368}, {9180, 9120} y {9724, 9184}. Creo que esas son todas las parejas en las que ambos números son de menos de 10.000.

Por ejemplo, $n=1836$ $n=1824$ satisfacer $\mu(n)=0$, $\varphi(n)=576$, $\sigma(n)=5040$ y $\tau(n)=24$.

EDIT: aquí está el código del programa que he usado en la BRECHA.

vec := function(n)
 return [MoebiusMu(n), Phi(n), Sigma(n), Tau(n)];
end;

dic:=NewDictionary([1,2,3,4], true);

for i in [2..10000] do
 v:=vec(i);
 if (LookupDictionary(dic, v) <> fail) then Print(i," <=> ", LookupDictionary(dic, v), "\n"); fi;
 AddDictionary(dic, v, i);
od;

Answer 2

Primero, felicitaciones por pedir un número de la teoría de la pregunta que es bastante diferente a cualquier otro que yo haya visto antes. Sin duda es más divertido leer acerca de preguntas como esta en lugar de la computación $a^b$ modulo $n$.

Con respecto a la asignación que tengo: sin duda, uno puede encontrar los valores particulares de $a$, $b$, $c$ y $d$ que no es exactamente una $n$ solución de las ecuaciones. Por ejemplo, si $p$ es un número primo, a continuación, tomar $a = -1$, $b = p-1$, $c = p+1$, $d = 2$ tiene el único solución $n = p$: $\tau(n) = 2$ las fuerzas de $n$ a ser el primer y así $\varphi(n) = n-1$.

Aunque estoy un número teórico, no tengo una opinión de los expertos sobre la cuestión general. (Yo no soy realmente el "tipo correcto" de número teórico para responder a esta pregunta. Usted podría pedir a Carl Pomerance, por ejemplo). Supongo que la más razonable conjetura es que no hay valores de $a,b,c,d$ que producen más de una solución.

Probablemente la primera cosa a hacer es lo que estamos haciendo: la búsqueda de contraejemplos por ordenador. Cuando te cansas de hacer eso, háganoslo saber cuán lejos se veía (y, por supuesto, si usted ha encontrado ninguna). La segunda cosa a hacer es venir con una heurística de cómo a menudo que uno podría esperar de múltiples soluciones que se pueda encontrar...