Probabilidad de $\limsup$ de una secuencia de conjuntos (lema de Borel-Cantelli)

Question

Dejemos que $(E_n)$ sea una secuencia de eventos en un espacio de probabilidad tal que $$\lim_{n\to\infty}\mathbb P(E_n)=0.$$ Estoy tratando de demostrar que si $$\sum_{n=1}^\infty\mathbb P (E_n\setminus E_{n+1}) <\infty$$ entonces $$\mathbb P\left(\limsup_{n\to\infty} E_n\right)=0.$$

Para un ejemplo estoy utilizando la secuencia de intervalos $[0, 1/n]$ que va a $0$ como $n$ aumenta hasta el infinito. Entonces puedo ver cómo la probabilidad de la suma infinita de la intersección de los $E_n$ y el complemento de $E_{n+1}$ es menor que infinito y la probabilidad de $\limsup_{n\to\infty} E_n$ es igual a cero.

¿Alguien puede ayudarme a averiguar cómo probar esto en general utilizando cualquier secuencia? Especialmente para mostrar cómo $\mathbb P\left(\limsup_{n\to\infty} E_n\right)=0$ ?

Gracias de antemano por sus opiniones.

Answer 1

Una aplicación del lema de Borel-Cantelli da como resultado que $\mathbb P(\limsup_n E_n\setminus E_{n+1})=0$ . Esto significa que hay un conjunto $\Omega'$ de probabilidad $1$ de manera que si $\omega\in\Omega'$ entonces $\omega\in E_n^c\cup E_{n+1}$ para cada $n\geqslant N(\omega)$ . Obsérvese que si para algunos $n\geqslant N(\omega)$ tenemos $\omega\in E_n$ entonces $\omega\in E_k$ para cada $k\geqslant n$ (esto se puede ver por inducción en $k$ ). Por lo tanto, $\limsup_n E_n\subset \liminf_n E_n$ (hasta un subconjunto de medida $0$ ). La suposición $\mathbb P(E_n)\to 0$ demostrar que $\mathbb P(\liminf_n E_n)=0$ .

Answer 2

Si $A_n=E_n - E_{n+1}$ entonces

$$\text{limsup}_n \ E_n \ = \ \text{liminf}_n \ E_n \ \bigcup \ \text{limsup}_n \ A_n.$$
Para ver esto, elija $\omega$ en LHS, entonces existe una subsecuencia $ E_{n_k}$ tal que $ \omega \in E_{n_k}, \ \forall k$ .
Ahora, o $ \omega \in \text{liminf}_n \ E_n,$ para lo cual $ \ \omega \in $ RHS, o $\omega \notin \text{liminf}_n \ E_n$ . Pero entonces existe una subsecuencia $ E_{n_ k}$ tal que $ \omega \notin E_{n_k}, \ \forall k$ .
Esto implica que existe una tercera subsecuencia $ E_{n_ k}$ tal que $ \omega \in E_{n_k} \text{and} \ \omega \notin E_{n_k+1},\ \forall k$ .
Así que $\omega \in \text{limsup}_n \ A_n \subset $ RHS.

Con Fatou y Borel-Cantelli, vemos que el RHS tiene probabilidad 0.

Answer 3

Tenga en cuenta que $$ \bigcup_{n=m}^{\infty} E_n = \bigcup_{n=m}^{\infty} E_n\setminus E_{n+1} $$ Dejemos que $\epsilon > 0$ ya que $\sum P(E_n\setminus E_{n+1}) < \epsilon$ entonces $\exists m\in \mathbb{N}$ tal que $$ \sum_{n=m}^{\infty} P(E_n\setminus E_{n+1}) < \epsilon $$ y así $$ P(\bigcup_{n=m}^{\infty} E_n) < \epsilon $$ Así que si $E = \limsup E_n$ entonces $P(E) <\epsilon$ . Esto es cierto para cualquier $\epsilon >0$ Así que $P(E) = 0$ .