límite para aplicar la operación sin n veces y multiplicar el resultado por la raíz cuadrada de n

Question

Numéricamente, encontré que si uno construye una secuencia de $sin(sin(sin(....(sin(x)...))$ con $n$ siendo el número de veces que se realiza la operación de pecado, entonces con n yendo al infinito el producto de esta operación multiplicado por la raíz cuadrada de n se aproxima al valor, que es notablemente cercano a la raíz cuadrada de 3 para cualquier $0<x<\pi$ . Lo mismo si en cada paso en lugar de usar la función sen utilizo la serie de Taylor. Sin embargo, partiendo de cero no he podido encontrar una aproximación analítica porque para cada potencia de x en la serie de Taylor en la que me detengo, el resultado diverge; se va al infinito negativo si $sin(x)$ se aproxima como $x-x^3/3!$ y al infinito positivo si $sin(x)$ se aproxima como $x-x^3/3!+x^5/5!$ y así sucesivamente.

Por favor, avisen si alguien ha observado esto ya y tiene pruebas analíticas/desconexiones.

Gracias,

Anthony

Answer 1

Usted está buscando $\lim_{n \to \infty}\sqrt n \sin^n(x)$ donde el poder en $\sin$ es la iteración y la afirmación de que se acerca $\sqrt 3$ . Esto no puede ser cierto para todos los $x$ como en el caso de $x=0$ siempre tendremos un valor de $0$ . También para $-\frac \pi 2 \lt x \lt 0$ el valor será siempre negativo. Se puede rescatar eso afirmando que el límite será entonces $-\sqrt 3$

Entonces podemos dar un argumento que apoye esto. Supongamos que $n \sin^{n^2}x=L$ y $n$ es lo suficientemente grande como para que $L$ es pequeño. Entonces $\sin \frac Ln \approx Ln-\frac {L^3}{6n^3}$ pero no está muy por debajo $L$ . Cada aplicación de $\sin$ disminuirá el valor en (por tercer orden) la misma cantidad. Entonces $(n+1) \sin^{(n+1)^2}x\approx (n+1)(\frac Ln-\frac {L^3}{6n^3}(2n+1))$ Queremos encontrar el valor estable de $L$ Así que $$L=(n+1)(\frac Ln-\frac {L^3}{6n^3}(2n+1))\\ L=L+\frac Ln-\frac {L^3}{6n^3}(2n+1)(n+1)$$ que para liderar el orden en $n$ da $L=\sqrt 3$

Para demostrar realmente esto, tendrías que demostrar que si tienes algún error de $L$ en $n$ se reduce a $n+1$ de manera que lo lleve a cero como $n \to \infty$