representando todos los naturales de impar como la suma de cuatro cuadrados, dos de ellos iguales

Question

¿puede alguien demostrar que todo número natural impar puede ser representado como la forma $a^2+b^2+2c^2$ donde $a,b$ y $c$ son enteros no negativos?

He pensado en este problema durante mucho tiempo, pero no he podido resolverlo. Agradecería mucho su ayuda.

Answer 1

Una prueba real está en un libro de 1939 (Teorema 86, página 96) de Leonard Eugene Dickson llamado Teoría elemental moderna de los números . Doy la lista de Dickson (páginas 111-113) de formas ternarias regulares "diagonales" en DIAGONAL . El trabajo de Bhargava depende en gran medida de los resultados existentes como estos. Muy bien, pongo el artículo de Manjul, con un prefacio de Conway, en BHARGAVA . Por último, para que una forma cuadrática positiva represente todos los números, debe tener al menos cuatro variables. Sin embargo, es posible representar todos los números Impares con sólo tres variables. Kaplansky identificó todas las formas ternarias posibles en KAPLANSKY . Kap dio 23 formas ternarias que parecían funcionar, 19 que podía probar (o que ya habían sido probadas, como su $x^2 + y^2 + 2 z^2$ ) junto con cuatro candidatos plausibles. Probé uno de los cuatro, pero tres siguen siendo inciertos. A Henri Cohen le gusta empezar sus clases mencionando una de esas tres formas, señalando que no podemos demostrar qué números representa.

Por lo tanto, algunas precauciones. El Teorema del 15 y el Teorema del 33 son sobre formas "clásicamente integrales", todos términos mixtos $x_i x_j$ tienen coeficientes pares. Existe un teorema 290 de Bhargava y Hanke sobre las formas positivas que representan todos los números. En este caso, los métodos analíticos son capaces de terminar el problema. No está claro que el resultado 290 se publique nunca, ya se ha presentado y retirado una vez.

Por último, hay ningún teorema dando una cota que garantiza que una forma positiva representa efectivamente todos los enteros positivos de impar, en cuanto permitimos formas que no son clásicamente integrales. No puede haber tal teorema mientras no se demuestre que las tres formas obstinadas de Kaplansky funcionan realmente.

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EDIT: si uno está dispuesto a tomar como axioma el teorema de los tres cuadrados, Legendre 1798, Gauss 1801, es un paso adicional fácil. Así, Legendre, un número entero positivo $r$ puede representarse como $r = x^2 + y^2 + z^2$ si y sólo si $r$ es no de tipo $4^k (8m+7),$ con números enteros $k,m \geq 0.$ Por lo tanto, tome un impar número positivo $n.$ Podemos ver que $2n$ satisface el teorema de los tres cuadrados, y tenemos $$ 2 n = x^2 + y^2 + z^2.$$ Los tres números no pueden ser todos impar, por lo que, tal vez cambiando el nombre de las variables, exigir que $z$ sea par, o $z = 2 c.$ Hasta ahora hemos $$ 2 n = x^2 + y^2 + 4 c^2.$$ Siguiente, $x,y$ son ambos Impares o ambos pares, de todos modos ambos $x+y$ y $x-y$ son ambos pares. Toma $$ a = \frac{x-y}{2}, \; \; b = \frac{x+y}{2} $$ y obtenemos $$ n = a^2 + b^2 + 2 c^2 $$ en números enteros.

Answer 2

Bhargava tiene resuelto el problema de qué formas cuadráticas integrales representan todas las naturales de impar: basta con que la forma represente 1, 3, 5, 7, 11, 15 y 33. Es fácil comprobar que su forma representa estos números, y por tanto todos los números naturales de impar.