¿Es posible dibujar $85 ^{\circ}$ y $110 ^{\circ}$ ángulos mediante la construcción con brújula y regla?

Question

¿Es posible dibujar $85 ^{\circ}$ y $110 ^{\circ}$ ángulos por construcción de brújula y regla Si es así, ¿cómo?

He pensado en ello y lo único que me viene a la mente aparte de un transportador es utilizar el concepto de funciones trigonométricas pero eso sigue necesitando calculadora,y las otras ideas que me vienen a la mente implican trisecar un ángulo que es imposible ¿alguna otra idea factible?

Answer 1

No podemos construir estos arcos con regla y compás. Porque si podemos dibujar un $85^\circ$ arco, podemos dibujar un $5^\circ$ por sustracción de un arco fácilmente construible $90^\circ$ arco, y luego construir un $20^\circ$ ángulo por duplicación repetida, de nuevo fácil de hacer con regla y compás. Y si podemos dibujar un $110^\circ$ arco, podemos dibujar un $20^\circ$ ángulo restando un $90^\circ$ arco.

Sin embargo, Wantzel demostró, hace casi dos siglos, que el $20^\circ$ El ángulo no se puede trazar con regla y compás. Equivalentemente, no podemos trisecar el $60^\circ$ ángulo con regla y compás. Para más detalles, véase el artículo de Wikipedia sobre Trisección en ángulo.

Comentario : Si permitimos otras herramientas que la clásica regla y compás euclidianos, la respuesta cambia. Hay $3$ -análogos de la brújula (enlaces) que pueden hacer la trisección. También podemos triseccionar ángulos mediante Origami (el arte japonés de doblar papel). Desde la antigüedad, se han descrito varios métodos de trisección correctos. Como es lógico, todos ellos van más allá de la regla y el compás.

Answer 2

Es un teorema de Gauss (y... de Wantzel? Gauss hizo el suficiente, alguien más hizo el necesario) que podemos construir un $n$ -gon mediante una regla y un compás si y sólo si $n$ es de la forma $$p_1p_2\ldots p_i2^j$$ donde el $p_k$ son primos de Fermat distintos.

Ahora, si puedes construir un ángulo de $d$ -entonces puedes usar esto para construir un $n$ -gon, donde $n$ es tal que $d.n=0 \text{ mod }360$ (dibuje su ángulo en un círculo, siga donde sus líneas golpean el borde y repita - básicamente, trabaje el orden de $d$ en el grupo cíclico de orden $360$ ).

Si $d=110$ entonces $n=36=2^{2}3^{2}$ .

Si $d=85$ entonces $n=72=2^{3}3^{2}$ .

Sus primos de Fermat son $3$ , $5$ , $17$ , $257$ y $65537$ (aunque creo que es una cuestión abierta si hay más). Sin embargo, cada uno de ellos no debe aparecer más de una vez en la factorización primaria de $n$ . $3$ aparece dos veces en ambos $36$ y $72$ (alias $9$ los divide a ambos), por lo que no podemos construir un $36$ -gon ni a $72$ -gon. Por lo tanto, no podemos construir ángulos ni de 110 ni de 85 grados.

Answer 3

Dependiendo de la precisión que necesites, es bastante fácil calcular (a mano) la longitud del perímetro de un arco de 5 grados de un radio determinado. A continuación, puedes medir una cuerda de un círculo con la brújula para obtener un ángulo de 5 grados. No es necesariamente preciso para 20/110 grados, pero puede ser suficiente. Debería ser sorprendentemente preciso para 5/85 grados.

Answer 4

Utiliza la regla y el compás para trazar dos líneas a 90 grados. A continuación, mide las dos líneas con la longitud adecuada para formar los dos lados de un triángulo rectángulo con un ángulo de 85 grados en una esquina y un ángulo de 5 grados en la otra. Une las dos longitudes medidas que te dan una línea a 85 grados y luego dibuja el arco desde la esquina del triángulo rectángulo con el ángulo de 85 grados.