El uso de los diagramas conmutativos

Question

Empiezo a entender lo que son los diagramas conmutativos, pero no estoy seguro de su propósito, cuál es su uso previsto y qué tipo de problemas se pueden resolver con ellos. Por "solucionable con un diagrama conmutativo" me refiero a algún tipo de razonamiento gráfico extravagante, redibujar, etc.

Por ejemplo, sólo se ha dado el diagrama conmutativo para la derivada exterior

$$ \newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{c} \Omega^k(N) & \ra{f^*} & \Omega^k(M) \\ \da{d} & & \da{d} \\ \Omega^{k+1}(N) & \ras{f^*} & \Omega^{k+1}(M) \\ \end{array} $$

¿es posible decir que $d$ es una derivada, es decir, es lineal y se cumple la regla de Leibniz correspondiente?

Otro ejemplo es el mío, puede que lo haya hecho totalmente mal.

Dados dos espacios vectoriales $V$ y $W$ (posiblemente de la misma dimensión) con productos escalares, $f$ siendo un morfismo, es posible demostrar que el siguiente diagrama conmuta:

$$ \newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{c} V & \ra{f} & W \\ \da{h} & & \da{h} \\ V & \ras{f} & W \\ \end{array} $$

sólo para $h$ de una forma determinada, que supongo que es

$$h(v) = \lambda(v^2) v$$

donde $\lambda$ es una función arbitraria? ¿Es un diagrama conmutativo válido?

Answer 1

Los diagramas conmutativos no son una técnica de resolución de problemas en el sentido habitual del término. Son más bien un lenguaje para describir eficazmente ciertos tipos de relaciones. Se pueden eliminar los diagramas conmutativos de cualquier prueba que los utilice, pero la prueba sería más larga y difícil de entender. (Se podrían eliminar los diagramas conmutativos de los enunciados de cualquier teoremas que los utilizaban también, pero esos también se harían más largos y difíciles de entender).

Si no te has encontrado con un problema en el que parezca que el uso de un diagrama conmutativo te ayudaría a expresar alguna idea, entonces yo no intentaría forzar la cuestión. Espera hasta que sientas realmente la necesidad.

En este caso particular, el primer diagrama conmutativo que escribiste expresa la naturalidad de la derivada exterior. Esto es algo útil de saber: garantiza que cualquier cálculo que hagas con las derivadas exteriores sigue siendo válido bajo el pullback. Pero si no te has encontrado con una situación en la que sea útil saber esto, entonces espera.

Answer 2

Un diagrama conmutativo es un enunciado. En el caso de tu último diagrama su afirmación es que para todo $v \in V$ $$ f(h_V (v)) = h_W (f(v)) \tag{1} $$ donde $h_{V} \colon V \to V$ se define como $$h_V (v) = \lambda ( \langle v,v \rangle_V ) v $$ donde $\lambda$ es una función arbitraria $\lambda \colon \Bbb R \to \Bbb R$ .

Sustituyendo la definición de $h$ en (1) tenemos $$ f\Big(\lambda( \langle v,v \rangle_V) v\Big) = \lambda (\langle f(v),f(v) \rangle_W) f(v) \tag{2} $$ Suponiendo que f es una isometría, es decir, f es lineal y satisface $$\langle f(v),f(v) \rangle_W = \langle v,v \rangle_V $$ por lo que (2) se convierte en $$ \lambda \langle v,v \rangle_V f(v) = \lambda \langle v,v \rangle_V f(v) $$

Dado que requerimos $v$ sea un elemento arbitrario de $V$ podemos concluir que $$ f(v) = f(v) $$ para todos $v \in V$ .

Por lo tanto, la afirmación de su segundo diagrama es verdadera.

Editar . He corregido el cálculo anterior para mostrar que $\lambda$ puede ser un arbitrario función real, no sólo una multiplicación a un escalar, como supuse erróneamente al principio.