Empiezo a entender lo que son los diagramas conmutativos, pero no estoy seguro de su propósito, cuál es su uso previsto y qué tipo de problemas se pueden resolver con ellos. Por "solucionable con un diagrama conmutativo" me refiero a algún tipo de razonamiento gráfico extravagante, redibujar, etc.
Por ejemplo, sólo se ha dado el diagrama conmutativo para la derivada exterior
\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{c} \Omega^k(N) & \ra{f^*} & \Omega^k(M) \\ \da{d} & & \da{d} \\ \Omega^{k+1}(N) & \ras{f^*} & \Omega^{k+1}(M) \\ \end{array}
¿es posible decir que d es una derivada, es decir, es lineal y se cumple la regla de Leibniz correspondiente?
Otro ejemplo es el mío, puede que lo haya hecho totalmente mal.
Dados dos espacios vectoriales V y W (posiblemente de la misma dimensión) con productos escalares, f siendo un morfismo, es posible demostrar que el siguiente diagrama conmuta:
\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{c} V & \ra{f} & W \\ \da{h} & & \da{h} \\ V & \ras{f} & W \\ \end{array}
sólo para h de una forma determinada, que supongo que es
h(v) = \lambda(v^2) v
donde \lambda es una función arbitraria? ¿Es un diagrama conmutativo válido?