Funciones generadoras suma producto

Question

Deje $A_n$ ser una familia de secuencias de $\{a_i\}_{i=1}^n$ de la longitud de la $n$. Me voy a referir a los elementos de la secuencia de $A_n$$a$. A continuación, definir

$$G(z):=\sum_{a\in A_n}\prod_{i=1}^n(z+a_i).$$

Aquí está un posible ejemplo concreto. Deje $A_n=S_n$, la permutación grupo en $n$ elementos. Este es un lugar sencillo ejemplo debido a que el producto plazo es el mismo para todos los elementos de a $S_n$ y tenemos la bonita expresión $G(z)=n!z^{[n]}$ donde $z^{[n]}:=(z+1)\cdots (z+n)$.

Estoy interesado en lo que la información puede ser extraída de $G(z)$$A_n$. En particular, hay un nombre común o de referencia para la familia de funciones de generación de esta suma-de la forma del producto?

Por ejemplo:

$$\lim_{r\rightarrow\infty}\frac{G(r)}{r^n}=|A_n|.$$

En otras palabras, podemos extraer el tamaño de $A_n$.

Answer 1

Vamos a responder a esta pregunta (incluso si no es muy útil, respuesta), la respuesta discutir la parte cuántas información que podemos obtener de $G(z)$

Podemos utilizar conjuntos en lugar de secuencias, dado un conjunto $A$ de los conjuntos de $I$: $|A|=m$ $\forall I\in A |I|=n$ (La pregunta se impone $n=m$, pero la respuesta será más general) definimos: $$G_A(z)=\sum_{I\in A}\prod_{a\in I}(z+a)$$

Sabiendo $G_A$ la única información de la que podemos obtener el valor de las sumas $0\leq i\leq n$: $$S_i=\sum_{I\in A}f_i(I)$$ with $$f_i(I)=\sum_{J\subset I,|J|=i}\prod_{a\in J}a $$

e.g

• Para $i=0$ tenemos $f_i(I)=1$ $S_0=|A| $
• Para $i=1$ tenemos $f_i(I)=\sum_{a\in I}A$, por lo que podemos saber la suma de todos los elementos de todos los subconjuntos de a $A$
• $\cdots\cdots$
• Para $i=n$ tenemos $f_i(I)=\prod_{a\in I}a$, por lo que podemos saber de la suma del producto de todos los elementos de todos los conjuntos de $\in A$

Las sumas $S_i$ son exactamente los coeficientes de $G_A$, lo que hace que este resultado obvio, pero que representan también la única cantidad de información que se puede saber acerca de la $A$ conocer $G_A$, esto significa que si nos han dado dos conjuntos de $A$ $B$ tener los mismos valores para todas las sumas $S_i$$G_A=G_B$. e.g $n=2$ tendremos: $$\begin{align}G_A(z)&=(z+a_1)(z+b_1)+(z+a_2)(z+b_2)+\cdots+(z+a_m)(z+b_m)\\&=mz^2+(a_1+b_1+a_2+b_2+\cdots+a_m+b_m)z+(a_1b_1+\cdots+a_mb_m)\end{align} $$ ahora es obvio que los únicos valores que podemos deducir se $m,a_1+b_1+\cdots+a_m+b_m$ $a_1b_1+\cdots+a_mb_m$ y si otro de los conjuntos de $B$ tiene los mismos valores de los coeficientes, a continuación,$G_A,G_B$. Otra pregunta sería ¿cuántos conjuntos de $A$ para el cual los valores de $S_i$ son los mismos, si estamos trabajando en los números reales, vamos a establecer todos los elementos de a $A$ a las variables, por lo que deberemos $nm$ variables $n$ ecuación que, muy probablemente, tiene un infinito número de soluciones, el aumento de esta cuestión para los números naturales, no será fácil para hacer frente