Deje que $\gamma:S^{1} \times [0,1] \to \mathbb{C}$ estar en $C^1$ y supongamos que $\gamma(.,t)$ es una curva de Jordania para todos $t\in [0,1]$ . Llama al dominio delimitado por $\gamma(.,t)$ como $\Omega(t)$ . Asume que para todos $t\in [0,1]$ , $0 \in \Omega(t)$ y que existe un $\delta>0$ de tal manera que $d(0,\partial \Omega(t) )\geq \delta$ .
Para cada fijo $t\in [0,1]$ considera el único mapa de Riemann $\Phi(.,t):\mathbb{D} \to \Omega(t)$ de tal manera que $\Phi (0,t) =0 $ y $\Phi_{z}(0,t) >0$ . Como $\partial \Omega(t)$ es una curva de Jordan que sabemos que $\Phi(,.t)$ se extiende continuamente a $\mathbb{D}$ por el teorema de Caratheodary.
Pregunta: ¿Es $\Phi(z,t)$ diferenciable en $t$ ? Y si ese es el caso, ¿es verdad que por cada fijo $t$ , $\Phi_{t}(z,t)$ se extiende continuamente a $\mathbb{D}$ ?
Sé que $\Phi(z,t)$ es continua en $t$ por un teorema de Rado (Prueba dada en el libro de Pommerenke: Comportamiento de los límites de los mapas conformes).
Parece que hay un documento inédito (Curvas de Lavrentiev y cartografía conformada) de Coifman y Meyer sobre este problema donde muestran que el mapa de Riemann depende analíticamente de la curva. Sin embargo, en primer lugar no puedo encontrar el documento en ninguna parte e incluso con él no sé cómo se resuelve la cuestión anterior, ya que la dependencia analítica es con respecto a la norma BMO asociada a la curva de arco de cuerdas (El problema es que todas las constantes son asesinadas por la norma BMO que corresponde a una rotación. Así que muchos dominios corresponden a la misma función BMO y por lo tanto se pierde información. También todos los posibles mapas de Riemann de $\Omega$ al medio plano superior se le asigna la misma función BMO )
Estaría muy agradecido si alguien pudiera responder a esto o darme una referencia para ello.
