$SL_2(\mathbb{F})$, $\mathbb{C}\{X\}$ irreducible $G$-representaciones y dimensiones de descomposición

Question

Deje $\mathbb{F}$ ser un campo finito con $q$ elementos y $H = \mathbb{F}^\times$, el grupo multiplicativo de a $\mathbb{F}$. Se sabe que $H$ es un grupo cíclico de orden $q - 1$, lo $\widehat{H} = \text{Hom}(H, \mathbb{C}^*)$ también es un grupo cíclico de orden $q - 1$.

Deje $G = SL_2(\mathbb{F})$. El grupo $G$ actúa linealmente en el $2$-dimensional espacio vectorial $\mathbb{F}^2$ y corrige el origen $0 \in \mathbb{F}^2$. Por lo tanto, $G$ actúa en $X := \mathbb{F}^2 \setminus \{0\}$. Este es un conjunto finito, así que tenemos la $G$-representación en el $\mathbb{C}$-espacio vectorial $\mathbb{C}\{X\}$. El espacio de $\text{End}_G\,\mathbb{C}\{X\} := \text{Hom}_G(\mathbb{C}\{X\}, \mathbb{C}\{X\})$ $G$- intertwiners, es un $\mathbb{C}$-álgebra con la multiplicación se define como una composición de intertwiners.

También permitirá $H$ actuar en $X$ por la multiplicación escalar $H \ni z: x \mapsto z \cdot x$. Para cada una de las $\chi \in \widehat{H}$, podemos definir un subespacio de $\mathbb{C}\{X\}$ como sigue:$$\mathbb{C}\{X\}^\chi := \{f \in \mathbb{F}\{X\} : f(z \cdot x) = \chi(z) \cdot f(x) \text{ for all }z \in \mathbb{F}^\times\}.$$What is the decomposition of $\mathbb{C}\{X\}$ into irreducible $G$-representaciones, y ¿cuáles son las dimensiones de estas representaciones?

Answer 1

Esto es bastante sencillo de resolver y no necesita de muchas de las cosas que se han introducido en la pregunta. Asumiré $q$ es impar, el caso de $q$ incluso es similar. Uno puede calcular el carácter de la permutación representación $\mathbb{C}[X]$ por el recuento de puntos fijos. Sólo tenemos que hacer esto por un representante de cada clase conjugacy.

Nos deja denotar por $\mu_n \leqslant \mathbb{F}^{\times}$ el subgrupo $\{x \in \mathbb{F}^{\times} \mid x^n = 1\}$ $n$th raíces de la unidad. Vamos a definir los elementos

\begin{gather*} \mathbf{u}(\varepsilon,c) = \begin{bmatrix} \varepsilon & c\\ 0 & \varepsilon \end{bmatrix} \in \mathrm{SL}_2(q), \quad \varepsilon \in \{\pm 1\}, c \in \mathbb{F}\\ \mathbf{d}(a) = \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & a^{-1} \end{bmatrix} \in \mathrm{SL}_2(q^2), \quad \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times}. \end{se reúnen*}

Para cualquier $\xi \in \mu_{q+1}$ también vamos a denotar por $\mathbf{d}'(\xi) \in \mathrm{SL}_2(q)$ un semisimple elemento con autovalores $\{\xi,\xi^{-1}\}$. Tenga en cuenta que existe un elemento $g \in \mathrm{GL}_2(q)$ tal que $g\mathbf{d}'(\xi)g^{-1} = \mathbf{d}(\xi)$. Una lista completa de los representantes de la clase por $\mathrm{SL}_2(q)$ es el dado por

\begin{equation*} \mathbf{d}(\varepsilon), \mathbf{u}(\varepsilon,c), \mathbf{d}(a), \mathbf{d}'(\xi) \end{ecuación*}

donde $\varepsilon \in \{\pm 1\}$, $c \in \mathbb{F}_q$, $a \in \mu_{q-1}$, $\xi \in \mu_{q+1}$. Deje $X_{q^2}$ el conjunto $(\mathbb{F}_{q^2}\oplus\mathbb{F}_{q^2})\setminus\{0\}$, claramente tenemos $X \subseteq X_{q^2}$. Un sencillo cálculo muestra que, para cualquier $1 \neq \xi \in \mathbb{F}_{q^2}$, $\mathbf{d}(\xi)$ no tiene puntos fijos en $X_{q^2}$. Esto implica que para $\xi \in \mu_{q+1}$ tenemos $\mathbf{d}'(\xi)$ no tiene puntos fijos en $X$ porque es conjugado a un elemento sin puntos fijos. De ahí que fácilmente obtiene que el carácter de la permutación módulo de $\mathbb{C}[X]$ está dado por

$\mathbf{d}(1)$: $q^2-1$, $\mathbf{d}(-1)$: 0, $\mathbf{u}(1,c)$: $q-1$, $\mathbf{u}(-1,c)$: 0, $\mathbf{d}(a)$: 0, $\mathbf{d}'(\xi)$: 0

Con este hecho se ve que esta es la inducida por el carácter $\mathrm{Ind}_U^G(1_U)$ donde $U$ es el subgrupo de la uni-triangular superior matrices (una Sylow $p$-subgrupo de $G$) y $1_U$ es el carácter trivial. La descomposición de este personaje es bien conocido. Ver 3.2.13 de Bonnafé "Representaciones de $\mathrm{SL}_2(q)$".