Existencia de una función continua con un soporte compacto y no trivial en un conjunto compacto dado en $ \sigma $ -espacio compacto

Question

El siguiente hecho es trivial de ver:

Deje que $X$ sea un espacio métrico separable y localmente compacto, entonces para cada conjunto compacto $K \subset X$ hay una función continua con un soporte compacto y tal que $f|K=1$ .

En efecto, $X= \bigcup \limits_ {n=1}^{ \infty } U_n$ donde $\{U_n\}$ es una secuencia creciente de subconjunto abierto y precompacto de $X$ (del teorema de Lindelöf). Así que hay un $m \in \mathbb {N}$ de tal manera que $K \subset U_m$ . Ahora, aplicando el teorema de Urysohn a los conjuntos $K$ y $X \setminus U$ encontramos la función adecuada (con el apoyo contenido en $ \operatorname {cl} U_m$ con es compacto).

Si algo así (o similar) fuera cierto, cuando $X$ era un $ \sigma $ -¿Espacio compacto polaco?

Answer 1

Por el bien de tener una respuesta:

Deje que $X$ ser un espacio Hausdorff. Que $C_{c}(X)$ ser el espacio de las funciones continuas $f$ con un soporte compacto. Ponga $$Y = \bigcup_ {f \in C_{c}(X)} \{|f| \gt 0\}.$$ Luego $Y \subset X$ es un subespacio abierto y compacto localmente.

De hecho, si $Y = \emptyset $ esto está claro. Por lo demás, para cada uno $y \in Y$ tenemos $|f(y)| \gt 0$ para algunos $f \in C_{c}(X)$ . Pero entonces $U = \{|f| \geq |f(y)|/2\}$ es un barrio compacto de $y$ .

En otras palabras, si $K \subset X$ es compacto existe una función continua $f$ con un soporte compacto tal que $f\,|_{K} = 1$ si y sólo si $K \subset Y$ .

Ya que usted dijo en un comentario que quiere tener tal función para todos los compactos $K \subset X$ debemos tener $Y = X$ y así $X$ debe ser compacto localmente.