Es un "no-analítica" prueba de Dirichlet del teorema de los números primos conocidos o posibles?

Question

Es bien sabido que uno puede demostrar ciertos casos especiales de Dirichlet del teorema mediante la exhibición de un polinomio entero $p(x)$ con las propiedades que el primer divisores de $\{ p(n) | n \in \mathbb{Z} \}$ debe mentir en ciertas progresiones aritméticas, con un número finito de excepciones. Esto es debido a que cualquier polinomio no constante debe tener una infinidad de distintos primos divisores, que se puede demostrar de una manera imitando Euclides prueba de la infinitud de los números primos. Por ejemplo,$p(x) = \Phi_n(x)$, podemos probar de Dirichlet del teorema de los números primos congruentes a $1 \bmod n$. Es conocido (véase, por ejemplo, este artículo de K. Conrad) que esto es posible precisamente para los números primos congruentes a $a \bmod n$ donde $a^2 \equiv 1 \bmod n$.

Sin embargo, el resultado acerca de los polinomios de tener una infinidad de primos divisores tiene la siguiente generalización: cualquier secuencia $a_n$ de los enteros que finalmente es monótonamente creciente y que crece más lento de lo $O(2^{\sqrt[k]{n}})$ para cada entero positivo $k$ tiene una infinidad de distintos primer divisores. En particular, cualquier secuencia de polinomio de crecimiento (no necesariamente un polinomio misma) tiene esta propiedad.

Pregunta 1: Dada una progresión aritmética $a \bmod n, (a, n) = 1$ tal que $a^2 \not \equiv 1 \bmod n$, es todavía posible de manera eficiente la construcción de un monótonamente creciente secuencia de enteros positivos satisfacer el aumento en condición tal que, con un número finito de excepciones, el primer divisores de cualquier elemento de la secuencia son congruentes a $a \bmod n$? ("Eficiente" reglas de respuestas como "los enteros positivos divisibles por los números primos congruentes a $a \bmod n$," ya que no creo que es posible escribir esta secuencia de manera eficiente. Por otro lado, la evaluación de un polinomio es muy eficiente.) La idea es que una secuencia de inmediato da una prueba de Dirichlet del teorema de los números primos congruentes a $a \bmod n$ la generalización de la de Euclides al estilo de las pruebas.

Pregunta 2: Si lo anterior no es posible, ¿se conocen las técnicas para la demostración del teorema de Dirichlet o al menos algunos de los casos especiales no contemplados anteriormente, sin tener que recurrir a la costumbre de la analítica de la maquinaria? Por ejemplo, Selberg publicó un "elemental" en la prueba en 1949, pero se basa en el "elemental" en la prueba del teorema de los números primos, que para mí es "finitary analítica de la maquinaria." ¿Cuál es la cantidad mínima indispensable de análisis necesarios para producir una prueba? (Edit: En respuesta a una sugerencia en los comentarios, una manera de describir el tipo de respuesta que estoy buscando es que se podría generalizar a una prueba de Chebotarev densidad del teorema que muestra muy claramente la distinción entre el campo de número y la función de campo de los casos es; aparte de algunos "esencial" de la analítica de argumento no debe haber ninguna diferencia entre los dos.)

Esta pregunta está inspirada, al menos en parte, por la siguiente observación: de Dirichlet del teorema es equivalente a la aparentemente más débiles de la declaración de que para cada progresión $a \bmod n, (a, n) = 1$ existe al menos un primer congruente a $a \bmod n$. La razón es que si existe alguna de esas prime $a_1$, dejando $n_1$ ser el menor múltiplo de $n$ mayor que $a_1$, existe un primer congruente a $a_1 + n \bmod n_1$, y así sucesivamente.

Answer 1

La cuestión de si existen infinitos números primos en algunos coprime residuo de la clase mod m es más fuerte que preguntarse si existen infinitos números primos, con la inercia del índice en el campo de mth raíces de la unidad, que es un caso especial de Chebotarev de la densidad. La posibilidad de primaria las pruebas de la última fue discutido, como saben, en aquí.

Parece que de Dirichlet de la técnica es perfectamente natural para este tipo de preguntas. Antes de que él comenzó a usar de Euler ideas sobre las funciones zeta, él jugó con Legendre del enfoque (Legendre había tratado de probar el resultado en su 2ª edición de su Théorie des nombres, ya que él había usado casos especiales en su "prueba" de la ley de la reciprocidad cuadrática), pero sin éxito.

Otro intento de dar una "elemental" en la prueba fue hecha por Italo Zignago:

• J. Zignago, Intorno ad un teorema di aritmetica(italiano), Annali di Mat. 21 (1893), 47-55

Su prueba fue, sin embargo, es incorrecta.

Por CIERTO, la pregunta 1 se remonta a la correspondencia de Euler y de Goldbach; se intentó (en vano) para encontrar una secuencia de números divisibles únicamente por los números primos de la forma 4n+3. Finalmente, Euler convencido de que la formas cuadráticas x^2 + mi^2 no.

Answer 2

Para más información sobre Murty el resultado de que la costumbre de primaria enfoque está condenado al fracaso mirar a Paul Pollack papel de la Hipótesis H y un teorema de imposibilidad de Ram Murty Allí se muestra que comúnmente se cree conjetura implica una generalización de Murty del resultado a un tipo más general de la Euclídea prueba.

Answer 3

Yo estaba luchando para encontrar una escuela primaria prueba de Dirichlet del teorema usando otra técnica interesante. Llegué finalmente a una prueba de una dirección totalmente distinta, pero como me enteré de Erdos vino primero, antes de muchos años. La prueba no es bien conocido (nunca he entendido por qué nadie habla de él!)y se utiliza de Chebyshev tipo de estimaciones. He aquí la prueba: http://kam.mff.cuni.cz/~klazar/ln_antcII.pdf Espero que esto sea útil!

Estamos buscando los números primos de la forma $a+nm$.$(a,m)=1,n=1,2,...$

El plan general es: $n!$ divide el producto de $n$ términos consecutivos de la aritmética proggression $a+m$,$a+2m$,$...,$$a+nm$ con $(a,m)=1$ (si no tomamos en cuenta el factor de $n!$ que incluye divisores de $m$)

Por ejemplo, considere la proggression $1+3m$:

$4\cdot7\cdot10\cdot13\cdot16\cdot19\cdot22$ se divide por $7!/3^2$ (El factor que nos "indiferencia" es $3^2$)

Es fácil probar en analógico con Legendre del Lexema en los coeficientes binomiales, que el mayor poder de un primer $p$ que se divide $\frac{(a+m)\cdot(a+2m)...\cdot(a+nm)}{n!}$ no exceda el $a+nm$.

El problema es que ese primer $p$ no pudo ser de la forma que se desea.Por ejemplo, volviendo a $\frac{4\cdot7\cdot10\cdot13\cdot16\cdot19\cdot22}{7!/3^2}$ encontramos 11 como un divisor que es un primo de la forma $2+3m$.

Queremos simplificar el no deseados de los números primos de los "grandes" de la fracción que Erdos llama a $Pn(a,m)$. Para ello dividimos $Pn(a,m)$, con una fracción de la misma especie pero de otro proggression $a'+nm$$(a',m)=(a,m)=1$.

(El "otro" proggression para $1+3m$ $2+3m$ desde sólo 1 y 2 son los únicos números coprime a 3 y menor que 3).

Pero nos encontramos con que en $Pn(a,m)$ todos los primos de la forma$a'+km$, que es mayor que $n$ existe exactamente una vez, así que (y aquí está la gran idea) dividiendo $Pn(a,m)$ con $P(n/h)(a',m)$ ($h$ es el número con la propiedad $a'h=a(modm)$ ) todos los primos de la forma$a'+km$, que es mayor que $n$ se cancela.

Continuar como esta se puede cancelar cada unusefull primer que excede de n y tienen sólo un "pequeño" unusefull de los números primos cuyo producto significally es menor que $Pn(a,m)$.

Con esto,demostrar que los números primos de la forma $a+nm$ tiene un producto que tiende a infinito y por lo tanto son infinitas.

Espero que esto sea útil.

(nota)utilizamos $h$ debido a la menor duración de la proggression $a+nm$ que está dividido por un prime $p$ de la forma $a'+km$ es el término que se $a+km=h\cdot p$ .