Estimación del parámetro de una distribución geométrica a partir de una sola muestra

Question

Me sorprendió no encontrar nada sobre esto con Google.

Consideremos una distribución geométrica con $\text{Pr}[X=k]=(1-p)^{k-1}p$ por lo que la media es $\sum_{k=1}^\infty k\,\text{Pr}[X=k]=\frac{1}{p}$ .

Ahora supongamos que observamos un único resultado (número de ensayos hasta el éxito, incluyendo el éxito) $n$ . ¿Cuál es nuestra estimación de $p$ ? La estimación "natural" (signifique lo que signifique) parece ser $\frac{1}{n}$ . Sin embargo, se trata de una estimación sesgada de $p$ . De hecho, tenemos $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}\text{Pr}[X=k]=\frac{p}{1-p}\log\frac{1}{p}$ .

¿Podemos encontrar una estimación insesgada de $p$ de $n$ ? ¿Cuál es la estimación del MSE de $p$ ?

Muchas gracias.

Answer 1

Por definición, un estimador es una función $t$ mapeo de los posibles resultados $\mathbb{N}^{+} = \{1,2,3,\ldots\}$ a los reales. Si esto va a ser imparcial, entonces escribiendo $q=1-p$ --la expectativa debe ser igual a $1-q$ para todos $q$ en el intervalo $[0,1]$ . Aplicando la definición de expectativa a la fórmula de las probabilidades de una distribución geométrica se obtiene

$$1-q = \mathbb{E}(t(X)) = \sum_{k=1}^\infty t(k) \Pr(X) = (1-q)\sum_{k=1}^\infty t(k) q^{k-1}.$$

Para $q\ne 1$ podemos dividir ambos lados por $1-q$ revelando que $t(k)$ son los coeficientes de una representación convergente en serie de potencias de la función $1$ en el intervalo $[0,1)$ . Dos de estas series de potencias pueden ser iguales en ese intervalo si y sólo si coinciden término a término, por lo que

$$t(k) = \begin{cases} 1 & k=1 \\ 0 & k \gt 1 \end{cases}$$

es el único estimador insesgado de $p$ .

Answer 2

ACTUALIZACIÓN. Reescribiendo mi anterior y descuidada respuesta.

No existe un estimador insesgado para $p$ , aquí es la prueba.

El estimador $p=\frac{1}{k}$ está sesgado, pero es lo mejor que se puede conseguir en el sentido de MLE o método de momentos. Aquí está la derivación en Math SE.