Resolución de %#% $ $$x^2+x^2t^2+2xt^2+t^2=1$ #% rendimientos %#% $ de #% tuve que usar el software porque no podía manipular algebraicamente, y lamentablemente el programa no me dijeron cómo llegó a esa solución.
¿Qué es el método?
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Oli
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Esta es una ecuación de segundo grado en $x$. El uso de la Fórmula Cuadrática.
Recordemos que las soluciones de $ax^2+bx+c=0$$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
Cuando los detalles, usted encontrará que $x=-1$ es también una solución.
De otra manera: En este caso, también podemos usar la factorización. El polinomio $$x^2(1+t^2)+2xt^2+t^2-1$$ factores como $$(x+1)\left((1+t^2)x+(t^2-1)\right),$$ y, a continuación, las raíces son fáciles de recoger.
Aún de otra manera: Por la inspección, $x=-1$ es una raíz. Pero el producto de las raíces de la $ax^2+bx+c=0$$\frac{c}{a}$. En nuestro caso, el producto de las raíces es $\frac{t^2-1}{1+t^2}$. Ya que una de las raíces es $-1$, el otro debe ser $\frac{1-t^2}{1+t^2}$.
Comentario: Mi conjetura es que usted se está resolviendo la ecuación, porque usted está tratando de encontrar dónde está la línea que a través de $(-1,0)$ con pendiente $t$ cumple con el círculo unidad. Si ese es el caso, entonces la solución $x=-1$ es obvio aun sin mirar a la ecuación. Así, la "otra manera" es la forma más natural de proceder: Si usted tiene una ecuación cuadrática, y usted sabe que una de las causas, la otra raíz requiere casi ningún trabajo. Acaba de utilizar el hecho de que el producto de las raíces es $\frac{c}{a}$ o el hecho de que la suma de las raíces es $-\frac{b}{a}$.
Amzoti
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Tienes un gran toque antes, pero usted puede también ver la trama implícita y otro hecho oculto.
Véase, por ejemplo: http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve%5Bx%5E2%2Bx%5E2+t%5E2+%2B+2+x+t%5E2+%2B+t%5E2+%3D%3D+1%2C+x%5D
mhost
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389
Esta ecuación puede ser escrita como $x^2+t^2(x+1)^2=1$de % que $\implies t^2=\frac{(1+x)(1-x)}{(1+x)^2}\implies t^2=\frac{(1-x)}{(1+x)}$ (suponiendo que $x\neq -1$) $ \implies t^2(1+x)=1-x\implies t^2+t^2x=1-x\implies x(t^2+1)=1-t^2\implies x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$
Aquí, tenemos que comprobar si $x=-1$ satisface la ecuación por separado. Poniendo en la ecuación de $x=-1$, satisface la ecuación. Así $x=-1, \frac{1-t^2}{1+t^2}$
