Universales álgebras de Banach separables

Question

El conocido de Banach–Mazur teorema dice que $C([0, 1])$ es un universal de Banach separables en el espacio, en el sentido de que si $X$ es cualquier Banach separable espacio que hay un mapa de $f : X \to C([0, 1])$ que es lineal e isométrica. Tenga en cuenta que $C([0, 1])$ también tiene la estructura de un álgebra de Banach.

Mi pregunta es: el Es $C([0, 1])$ universal para separables conmutativa álgebras de Banach? Por supuesto, una de Banach separables el álgebra es una de Banach separable espacio, de modo que existe una isometría lineal en $C([0, 1])$, pero me estoy preguntando si ese mapa también se puede tomar para preservar la operación de multiplicación.

Si $C([0, 1])$ no es universal para separables conmutativa álgebras de Banach, ¿existe un objeto universal? Estoy interesado principalmente en ZFC resultados, pero tampoco la mente de la audiencia consistente respuestas (especialmente si son consistentes con $\neg CH$).

Answer 1

La respuesta corta a la primera pregunta es no. Un simple contraejemplo es $\mathbb{C}^2$, o de hecho cualquier álgebra de Banach que contiene un idempotente no trivial, ya que $C([0,1])$ no contiene trivial idempotents.

De hecho, si un álgebra universal de la clase de preguntar acerca existe, no puede ser semisimple, y por lo tanto no puede ser de la forma $C(X)$. Por si $U$ es un álgebra universal y $f\colon A\to U$ es un homomorphism y $\phi$ es un personaje en $U$, $\phi\circ f$ es un personaje en $A$. Si $x\in A$$f(x)\ne0$, se podría recoger $\phi$, de modo que $\phi(f(x))\ne0$, lo $x$ no está en el Jacobson ideal de $A$.

Answer 2

No es separable de Banach conmutativa álgebra que contiene isométrica copias de todos separables conmutativa álgebras de Banach.

De hecho, si $p$ $q$ son los desplazamientos de las proyecciones en un álgebra de Banach, a continuación,$\|p-q\|\geqslant 1$, de modo que cada conjunto de desplazamientos de las proyecciones es discreto. Ahora, las proyecciones en un álgebra de Banach puede tener arbitrariamente grande normas. En consecuencia, una de Banach conmutativa álgebra que contiene una cantidad no numerable de desplazamientos de las proyecciones deben ser no-separables, ya que contiene un innumerable conjunto discreto.

Tenga en cuenta que $C(\Delta)$ donde $\Delta$ es el conjunto de Cantor, es universal para separables conmutativa la C*-álgebras.