Grupo trivial de Picard

Question

que $S=\operatorname{Spec}(A)$ ser un esquema afín. ¿Que % de anillo $A$, campo no es conocido que $H^1(S,\mathcal{O}_S^{*})$ es trivial?

Si $X\to S$ es un mapa finito y $H^1(S,\mathcal{O}_S^{*})$ es trivial, ¿es cierto que también $H^1(X,\mathcal{O}_X^{*})$ es trivial?

Gracias

Answer 1

Muestra las respuestas a tu primera pregunta: si $S$ es la especificación de un anillo local, o de una UFD, entonces $H^1(S, \mathcal O_S^{\times})$ es trivial.

La respuesta a tu segunda pregunta es no: $X = $ Spec $\mathbb C[x,y]/(y^2 - x^3 +x) \to S =$Spec $\mathbb C[x]$ da un contraejemplo de carácter geométrico, y $X =$ Spec $\mathbb Z[\sqrt{-5}] \to S =$Spec $\mathbb Z$ da un contraejemplo de carácter aritmético.