¿Convergencia de una secuencia con la asunción que convergen subsecuencias exponenciales?

Question

Problema

Uno de mis mejores amigos me han preguntado, a pensar en el siguiente problema:

Supongamos que una secuencia $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ satisface $\lim_{n\to\infty}a_{\lfloor\alpha^n\rfloor}=0$ por cada $\alpha>1$. Es cierto que $\lim_{n\to\infty}a_n=0$?

Él me dijo que la precedente proposición (si es verdad) implica la prueba de Kolmogorov fuerte de la ley de los grandes números en la teoría de la probabilidad. No sé cómo, pero es irrelevante.

Pensamientos

Supongamos $E\subseteq(1,+\infty)$ es contable (por ejemplo, $E=(1,+\infty)\cap\mathbb Q$) y $\lim_{n\to\infty}a_{\lfloor\alpha^n\rfloor}=0$ por cada $\alpha\in E$, no podemos concluir que el $\lim_{n\to\infty}a_n=0$. De hecho, se puede elegir entre un conjunto infinito $S\subseteq\mathbb Z_{>0}$ tal que $S\cap\{\lfloor\alpha^n\rfloor\colon n\in\mathbb Z_{>0}\}$ es finito para cada una de las $\alpha\in E$ como sigue:

Supongamos $E=\{\alpha_1,\alpha_2,\dotsc\}$. Elegimos $S$ inductiva. Supongamos $T_0=\mathbb Z_{>0}$. Dado $T_{n-1}$, podemos establecer$s_n=\min T_{n-1}$$T_n=(T_{n-1}\setminus\{\lfloor\alpha_n^k\rfloor\colon k\in\mathbb Z_{>0}\})\setminus\{s_n\}$. Por una densidad de argumento, es fácil ver que $T_n$ son infinitas por lo tanto, el proceso no finaliza. Deje $S=\{s_n\colon n\in\mathbb Z_{>0}\}$. Es evidente que la $\#(S\cap\{\lfloor\alpha_n^m\rfloor\colon m\in\mathbb Z_{>0}\})\le n$.

Dado $S$, podemos establecer $a_n=1/n$ si $n\not\in S$, e $a_n=1$ si $n\in S$, $\lim_{n\to\infty}a_{\lfloor\alpha^n\rfloor}=0$ por cada $\alpha\in E$, pero $\lim_{n\to\infty}a_n$ no existe.

Aquí elegimos $S$ por una diagonal proceso, por lo tanto no podemos imitar la construcción de al $E$ es incontable. De hecho, la falsedad de la declaración original es equivalente a la existencia de $S$, por lo tanto, es esencial combinatoria, o relacionados con alguna estructura topológica de $\mathbb Z_{>0}$ (es decir, la compacidad o de categoría de Baire, etc). No tengo idea en el caso general. Alguna idea? Gracias!

Answer 1

Aquí es un intento. Con suerte, esto es correcto.

Fix $\varepsilon >0$. Estamos buscando un entero $N$ tal que $\vert a_n\vert<\varepsilon$ por cada $n\geq N$.

Para cualquier $k\in\mathbb N$, $$ A_k:=\left\{ \alpha>1;\; \forall l\geq k\;:\; \vert a_{\lfloor \alpha^l\rfloor}\vert<\varepsilon \right\} .$$

A continuación, $(1,\infty)=\bigcup_{ n\in\mathbb N} A_k$ por supuesto. Por la categoría de Baire teorema, se sigue que, al menos en $A_k$ no es nada densa. Así que uno puede arreglar $1<u<v$ $k_0\in\mathbb N$ tal que $A_{k_0}\cap (u,v)$ es denso en $(u,v)$.

Ahora, elegir un número entero $K\geq k_0$ tal que $v^k> u^{k+1}$ todos los $k\geq K$; esto es posible desde la $v>u$. A continuación, $\bigcup_{k\geq K} (u^k,v^k)$ es el intervalo de $(u^K,\infty)$ (los intervalos se superponen en la definición de $K$).

Por último, elegir un número entero $N>u^K$. Veamos que esta $N$ obras.

Tomar cualquier entero $n\geq N$. Entonces uno puede escribir $n=\beta^k$ algunos $\beta\in (u,v)$ y algunos entero $k\geq K$. Ahora, desde la $A_{k_0}$ es denso en $(u,v)$, uno puede encontrar un punto de $\alpha\in A_{k_0}$ tal que $\alpha >\beta$ $\alpha$ está muy cerca de a $\beta$. Entonces, ya que la función del suelo es superior semi-continuo y $n=\beta^k$,$n=\lfloor \alpha^k\rfloor$. Por la definición de $A_{k_0}$ y desde $k\geq K\geq k_0$, se deduce que el $\vert a_n\vert<\varepsilon$, según se requiera.