¿Qué tan bueno puede que un número $\alpha$ ser aproximada por racionales?
Trivialmente, podemos encontrar infinidad de $\frac pq$$|\alpha -\frac pq|<\frac 1q$, así que algo mejor es necesaria para hablar de una buena aproximación.
Por ejemplo, si $d>1$, $c>0$ y hay infinidad de $\frac pq$$|\alpha-\frac pq|<\frac c{q^d}$, entonces podemos decir que el $\alpha$ se puede aproximar mejor que otro número si se permite que un mayor $d$ que el otro número. O por la igualdad de los valores de $d$, si se permite a un menor $c$.
Curiosamente, los números que se puede aproximar excepcionalmente bien por racionales son trascendentales (y en el otro extremo del espectro, racionales se puede aproximar excepcionalmente malo - si uno ignora la exacta aproximación por el número en sí). Por otro lado, para cada irracionales $\alpha$ existe $c>0$, de modo que para una infinidad de racionales $\frac pq$ tenemos $|\alpha-\frac pq|<\frac c{q^2}$. El infimum de los permitidos $c$ pueden diferir entre irrationals y resulta que depende de la continuación de la fracción de expansión de $\alpha$.
Especialmente, en términos de $\ge 2$ en la continuidad de la fracción corresponden a mejores aproximaciones de aquellos para los términos de $=1$. Por lo tanto, cualquier número con un número infinito de términos $\ge 2$ permite un menor $c$ de un número con sólo un número finito de términos $\ge2$ en la continuidad de la fracción. Pero si todos, pero un número finito de términos se $1$, $\alpha$ es simplemente racional de transformación de $\phi$, es decir,$\alpha=a+b\phi$$a\in\mathbb Q, b\in\mathbb Q^\times$.
