Pregunta sobre la definición de anillo euclidiano

Question

Recientemente me encontré con la siguiente definición de un anillo euclidiano:

Existe una función $g:R\to\Bbb N_0$ con las siguientes propiedades:

1.) $\forall x,y \in R$ $ y \neq 0$ allí existen $q,r \in R$ $x = qy + r$ donde $r=0$ o $g(r) < g(y)$.

2.) $\forall x,y\in R\setminus\{0\}$ tenemos $g(xy)\ge g(x)$

Lo que no entiendo, es el punto de la segunda condición. He visto las definiciones si no es un requisito. Qué 2.) ¿lograr?

Muchas gracias

Answer 1

La segunda condición que puede ser útil para describir los valores de la distancia Euclídea función. Por ejemplo, si $R$ es un anillo Euclidiano con una función de $g$, se puede deducir fácilmente $$g(0)<g(u)=g(v)<g(a)$$ para todas las unidades de $u,v\in R^*$ $a\in R\backslash (\{0\}\cup R^*)$ o que $g(R)$ tiene un límite superior, si y sólo si $R$ es un campo.

Ambas definiciones son en realidad el mismo. Cada anillo, que permite una función que satisface la primera condición, tiene también una función de la satisfacción de condiciones.

Para ver esto, vamos a $g$ ser una función de la satisfacción de 1.) y definir $g^*:R\to\mathbb{N}_0$ $g^*(0)=g(0)$ y $$g^*(a)=\min\{g(b) \mid b\in (a)\backslash\{0\}\}$$ para cualquier $a\in R\backslash\{0\}$. Se puede comprobar que $g^*$ satisface 1.). Para $x,y\in R\backslash\{0\}$ tenemos $(xy)\subset (x)$, lo $g^*(xy)\geq g^*(x)$.

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