Círculo de probabilidad determinado por acorde determinado por dos puntos al azar está encerrado en el círculo más grande

Question

Dos puntos $A$ $B$ se eligen y uniformemente al azar desde el interior de un círculo $X_1$. Sea $X_2$ el círculo cuyo diámetro es el segmento $AB$. ¿Cuál es la probabilidad que $X_2$ se contiene enteramente dentro de $X_1$?

Progreso: No mucha suerte con la integración al azar.

Answer 1

Para los puntos de $P$ $Q$ en el avión, vamos a $\Gamma(P,Q)$ denotar el círculo con el segmento $PQ$ de su diámetro.

Hemos de probar primero un lexema.

Lema: Vamos a $\Gamma$ ser un círculo, $P$ a un punto en el interior de $\Gamma$, e $P'$ el reflejo de $P$ sobre el centro de la $\Gamma$. Denotar por $\mathcal{L}$ el lugar geométrico de los puntos $Q$ dentro $\Gamma$ tal que $\Gamma(P,Q)$ es internamente tangente a $\Gamma$. A continuación, $\mathcal{L}$ es el único de la elipse con focos en $P$ $P'$ que es internamente tangente a $\Gamma$.

Prueba: Supongamos $Q$ está dentro de $\Gamma$ tal que $\Gamma(P,Q)$ internamente tangente. Deje $A$ ser el punto de tangencia, $O$ el centro de la $\Gamma$, e $O_1$ el centro de la $\Gamma(P,Q)$. Tenga en cuenta que $PQ = 2PO_1$, e $OO_1 = AO - AO_1 = AO - PO_1$. Desde $PO = P'O$$PO_1 = QO_1$, se deduce que el $\triangle PO_1 O \sim \triangle PQP'$. Por lo tanto $P'Q = 2OO_1 = 2(AO - PO_1)$. A continuación,$PQ + P'Q = 2AO$, que es una constante.

Suponga que $X_1$ es de radio 1, y supongamos $A$ es la distancia a $x$ desde el centro del círculo. Por el lema, la probabilidad de que $B$ elegido es tal que $\Gamma(A,B) \subset \Gamma$ es exactamente $(\pi \sqrt{1-x^2})/\pi = \sqrt{1-x^2}$. Por lo tanto, la respuesta es $$\int_{0}^{1} x \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{1}{3}$$