Inverso de $4-\ln(x+2)$

Question

Cómo encontrar la inversa de una función $4-\ln(x+2)$ ? Sé que la inversa de $\ln(x)$ es igual a $e^{x}$ , entonces la inversa de $-\ln(x)$ es igual a $e^{-x}$ pero ¿qué hacer con los otros números (4 y 2)?

Answer 1

Si $f(x) = 4 - \log(x+2)$ entonces $4-f(x) = \log(x+2)$ Así que $\exp(4-f(x)) = x+2$ Así que $\exp(4-f(x)) - 2 = x$ .

Es decir, la función inversa es $f^{-1}: f(x) \mapsto e^{4-f(x)}-2$ . Como alternativa, $f^{-1}(y) = e^{4-y} - 2$ .

Answer 2

Que $f: x \mapsto 4 - \log (x+2) :\ ]-2, \infty[ \to \mathbb{R}\setminus \{ 4 \}$. Reivindicamos que $f$ es biyectiva.

Para probar el surjectiveness, que $y \in \mathbb{R}\setminus \{4 \}$. Desde $4 - y = \log (x+2)$ $x > -2$ iff $x = e^{4-y} - 2$, por definición $f$ es sobreyectiva. Que $x_{1},x_{2} > -2$ tal que $x_{1} \neq x_{2}$. Reivindicamos que $f$ es inyectiva. Pero si $f(x_{1}) = f(x_{2})$ y $\log(x_{1} + 2) = \log(x_{2}+2)$, que $x_{1} = x_{2}$, una contradicción. Sigue que $f$ es inyectiva. Por lo tanto, por definición, $f$ es biyectiva.

Reivindicamos que $f^{-1}: y \mapsto e^{4-y} - 2 :\ \mathbb{R}\setminus \{4 \} \to ]-2,\infty[$. Pero tenemos el % de identidades $f\circ f^{-1}(y) = y$y $f^{-1}\circ f(x) = x$ en construcción, por lo que estamos hechos.

Answer 3

Obsérvese que tenemos $$y=f(x)=4-\ln(x+2)$$ $$\ln(x+2)=4-y$$ $$x+2=e^{4-y}$$ $$x=e^{4-y}-2$$ Ahora, para la función inversa, intercambiando $x$ & $y$ obtenemos $$y=e^{4-x}-2$$ Por lo tanto, la función inversa es $$\color{red}{f^{-1}(x)}=\color{blue}{e^{4-x}-2}$$