Dimensión del espacio vectorial de polinomios homogéneos

Question

Que $k[X_0, X_1, \ldots, X_n]_d$ o brevemente $k[X]_d$, ser el espacio de $k$-vector cuyos elementos son el polinomio cero y polinomios homogéneos de grado $d\geq 1$. Encontré la siguiente fórmula para la dimensión %#% $ #%

pero en mi libro no es ninguna justificación para esta igualdad. Podría alguien explicarme, posiblemente de forma intuitiva, ¿por qué ese coeficiente binomial es la dimensión del espacio vectorial?

Answer 1

Añadido posterior: Excepto la fórmula es correcta, como se muestra en los comentarios de abajo; yo había leído mal; al $d = 2$ y tiene 3 variables, $n = 2$, puesto que la variable de indexación comienza en cero. Y 4-elegir-2 es, de hecho, de los seis, como se esperaba.

[lo que sigue es incorrecto]

Una buena base para que el espacio se compone de todos los monomials en el $n$ variables con total grado de $d$.

Espera...¿qué grado de $d = 2$ $n = 3$ variables. Listado de la base de los elementos, veo $$ x^2, y^2, z^2, xy, xz, yz, $$ que sólo es $6$ dimensiones, pero 5 elija 3 es de 10. Parece como si pudiera haber un error en la fórmula, o tal vez no soy la comprensión de cómo se supone que debe ser aplicado. (Ver más abajo para la resolución de esta aparente contradicción.)

Creo (o pensamiento), tal vez, su fórmula es incorrecta.