Evaluación $$\int\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}\mathrm dx$ $
Leí un problema similar, pero no funciona.
Respuesta
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Yo había leído el problema similar, pero no funciona.
De supuesto que no ! La integral que has publicado no es otra cosa que la fórmula para la longitud de arco
de la $($co$)$función seno, que es bastante famoso por dar origen históricamente para el estudio de las integrales elípticas ! En particular, $\displaystyle\int_0^\tfrac\pi2\sqrt{1+\sin^2x}~dx~=~\int_0^\tfrac\pi2\sqrt{1+\cos^2x}~dx~=~\int_0^1\sqrt{\frac{1~{\color{red}+}~x^2}{1~{\color{red}-}~x^2}}~dx$ $=~\dfrac{\Gamma^2\bigg(\dfrac14\bigg)}{4\sqrt{2\pi}}~{\color{red}+}~\dfrac{\pi\sqrt{2\pi}}{\Gamma^2\bigg(\dfrac14\bigg)}$ . Por supuesto, usted será inmediatamente objeto de que esta no es la integral que has publicado; pero esto es sólo la mitad-es cierto, ya que hemos $\displaystyle\int_0^1\sqrt{\frac{1~{\color{red}-}~x^2}{1~{\color{red}+}~x^2}}~dx~=~\dfrac{\Gamma^2\bigg(\dfrac14\bigg)}{4\sqrt{2\pi}}~{\color{red}-}~\dfrac{\pi\sqrt{2\pi}}{\Gamma^2\bigg(\dfrac14\bigg)}$ . La razón de esto radica en el hecho de que, en general,, $\displaystyle\int_0^1\sqrt{\frac{1+x^n}{1-x^n}}~dx~=~a\cdot2^{a-1}~\bigg[\frac12~B\bigg(\frac a2,\frac a2\bigg)~{\color{red}+}$ ${\color{red}+}~B\bigg(\dfrac{a+1}2,\dfrac {a+1}2\bigg)\bigg]$, donde $a={\color{red}+}~\dfrac1n$ , y $\displaystyle\int_0^1\sqrt[n]{\frac{1+x^2}{1-x^2}}~dx~=~a\cdot2^{a-1}~\bigg[\frac12~B\bigg(\frac a2,\frac a2\bigg)~{\color{red}-}$ ${\color{red}-}~B\bigg(\dfrac{a+1}2,\dfrac {a+1}2\bigg)\bigg]$, donde $a={\color{red}-}~\dfrac1n$ . Ver la beta y $\Gamma$ funciones para obtener más información.
