Punto recurrente de continua transformación en un espacio métrico compacto

Question

Dado un espacio métrico $(X,d)$ y una transformación de $T:X\rightarrow X$, un punto de $x\in X$ dijo ser recurrente iff pertenece a la clausura de su órbita $\{T(x), T^2(x),...\}$: más precisamente, existe un aumento de la secuencia de $(n_k)$ de los números naturales con $n_k \rightarrow \infty$ tal que $T^{n_k}(x)\rightarrow x$ al $k \rightarrow \infty$.

Muestran que cuando se $X$ es compacto y $T$ es continuo, recurrente puntos de existir siempre.

Nota: Es posible demostrar esto mediante la Recurrencia de Poincaré del teorema, que implica considerar en cierta medida la estructura en $X$. Pero estoy pidiendo una prueba directa, sin tener en cuenta dicha estructura adicional.

Gracias.

Answer 1

$\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}}\newcommand{\orb}{\operatorname{orb}}\newcommand{\corb}{\overline{\operatorname{orb}}}$ $x\in X$ Deje $\orb(x)=\{T^n(x):n\in\Bbb N\}$, y deje $\corb(x)=\cl_X\orb(x)$. Un conjunto $K\subseteq X$ es invariante si $T^n[K]\subseteq K$ todos los $n\in\Bbb N$. Un cerrado invariante $K\subseteq X$ es mínima si $K$ $\varnothing$ son la única cerrado invariante subconjuntos de a $K$. No es difícil comprobar que $X$ es mínimo fib $\corb(x)=X$ todos los $x\in X$.

Vamos $\mathscr{I}=\{K\subseteq X:K\ne\varnothing\text{ is closed and invariant}\}$; $X\in\mathscr{I}$, por lo $\mathscr{I}\ne\varnothing$. Si $\mathscr{C}$ es una cadena en el orden parcial $\langle\mathscr{I},\supseteq\rangle$, $\bigcap\mathscr{C}$ se ve fácilmente a ser una cota superior para $\mathscr{C}$$\langle\mathscr{I},\supseteq\rangle$. Por el lema de Zorn hay un $\supseteq$-máximo $K\in\mathscr{I}$. Si $x\in K$, debemos tener $\corb(x)=K$, ya que de lo contrario $\corb(x)\in\mathscr{I}$$K\supsetneqq\corb(x)$, contradiciendo la $\supseteq$-maximality de $K$. Por lo tanto, $K$ es mínima.

Ahora arreglar cualquier $x\in K$; $\corb(x)=K$ por el minimality de $K$. Si $T^n(x)=x$ algunos $n\ge 1$, entonces, ciertamente, $x$ es recurrente. Si no, $x\in\corb(x)\setminus\{x\}$, por lo que es estrictamente creciente secuencia $\langle n_k:k\in\Bbb N\rangle$ $\Bbb N$ tal que $\langle T^{n_k}(x):k\in\Bbb N\rangle\to x$, y de nuevo $x$ es recurrente.

Para aquellos que se preocupan por estas cosas, uno puede demostrar que sin el lema de Zorn que $X$ tiene un subconjunto mínimo, aunque todavía necesita contables elección.

Answer 2

¿Seguro que esto es cierto?

Que $X$ ser el círculo, y que $d(x,y)$ la medida del ángulo más pequeño entre $x$y $y$. Que $f$ ser una rotación del círculo por $\alpha$ y $\alpha \notin \{2 \pi n : n \in \mathbb{Z}\}$, por lo que la rotación es no trivial. $f$ es continuo. Pero ninguno de las órbitas convergentes, así el no tendrá límite de puntos.

¿Usted quiere decir que un punto es recurrente si es un punto límite de un subsequence de su órbita?