Límite de mediana de una distribución uniforme

Question

Que $X_1,X_2,\ldots$ sea una muestra aleatoria de la distribución uniforme en el intervalo $(0,1)$. Suponiendo que $n$ es extraño, encontrar el pdf de la mediana de la muestra (decir $M_n$). ¿El pdf de la r.v. $(M_n-EM_n)/\sqrt{var(M_n)}$ convergen a un límite como $n\rightarrow\infty$?

Mi trabajo: encontrar $M_n\sim Beta(\frac{n+1}{2},\frac{n+1}{2})$, $E M_n=1/2$ y $var(M_n)=\frac{1}{4(n+2)}$. No sé usar que teorema para resolver el problema de límite.

Answer 1

El PDF de $M_n$ es %#% $ #% donde $$ \frac1{\beta(\tfrac{n+1}2,\tfrac{n+1}2)} x_+^{(n-1)/2} (1-x)_+^{(n-1)/2} $ se define para ser $x_+$ $x$ y cero si no.

Así que el PDF de $x > 0$ es $(M_n - EM_n)/\sqrt{\text{var}(M_n)}$ $ $$ \frac{1}{\sqrt{4(n+2)} \beta(\tfrac{n+1}2,\tfrac{n+1}2)} \left(\frac12 + \frac x{\sqrt{4(n+2)}}\right)_+^{(n-1)/2} \left(\frac12 - \frac x{\sqrt{4(n+2)}}\right)_+^{(n-1)/2} \\ = \frac1{2^{n-1}\sqrt{4(n+2)} \beta(\tfrac{n+1}2,\tfrac{n+1}2)} \left(1 - \frac {x^2}{n+2}\right)_+^{(n-1)/2} $, y utilizando la fórmula de Stirling, vemos que esto converja a $n\to \infty$ $