¿Para que hypersurfaces en espacio proyectivo el complemento admite una estructura algebraica de grupo?

Question

Por ejemplo, si $H$ es un hyperplane, a continuación,$\mathbb{P}^n - H = \mathbb{A}^n$, que es un espacio vectorial.

Si $n = m^2 - 1$, entonces podemos considerar $\mathbb{A}^{n+1}$ como el espacio de $m \times m$ matrices y tomar la hipersuperficie $H$ $\mathbb{P}^n$ correspondiente a la singular matrices. El complemento de $\mathbb{P}^n - H$$\mathbf{PGL}_n$.

Si nos limitamos a irreductible $H$, hay más ejemplos además de los dos de arriba?

Si permitimos que reducible hypersurfaces, entonces se puede obtener un poco más. Podemos darnos cuenta de que el grupo multiplicativo $\mathbb{G}_m$ $\mathbb{P}^1$ menos de dos puntos, y la eliminación de la unión de dos líneas distintas de $\mathbb{P}^2$ nos dará $\mathbb{G}_m \times \mathbb{A}^1$. ¿Qué podemos decir acerca de la situación aquí?

El complemento de una hipersuperficie es afín, por lo que sólo algebraicas lineales grupos surgir.

No he pensado mucho en el campo base, por lo que podemos comenzar con $\mathbb{C}$.

Answer 1

No una respuesta, pero aquí es un Hodge de la teoría de la restricción en subvariedades $Z \subset \mathbf{P}^n$ tal que $G = \mathbf{P}^n - Z$ admite que la estructura de un algebraicas lineales grupo.

En las condiciones anteriores, el natural mezclado estructura de Hodge (MHS) en $R\Gamma(G,\mathbf{Z})$ es de la mezcla de Tate tipo (por el Bruhat de descomposición, por ejemplo); esta condición en una estructura de Hodge significa, más o menos, que sólo (n,n) las clases se muestran. Como $G$ es suave como una variedad, se sigue por la dualidad que lo mismo es cierto para el compacto compatible cohomology $R\Gamma_c(G,\mathbf{Z})$. Por otro lado, hay un exacto triángulo de MHSs

$R\Gamma_c(G,\mathbf{Z}) \to R\Gamma(\mathbf{P}^n,\mathbf{Z}) \to R\Gamma(Z,\mathbf{Z})$

Esto significa que el MHS en $R\Gamma(Z,\mathbf{Z})$ también tiene que ser de la mezcla de Tate tipo. Esta restricción excluye la Z con "interesante" cohomology.

Ahora bien, si uno supone, además, que Z es suave hipersuperficie, a continuación, la mezcla de Tate condición de las fuerzas de $h^{p,q}(Z) = 0$ menos que p=q. Estándar calculatons con Hodge números de hypersurfaces (ver, por ejemplo, la página 126 de "Un estudio de la Conjetura de Hodge" por Lewis), a continuación, mostrar que Z tiene grado 1 o 2, al menos cuando el ambiente proyectiva del espacio es de al menos 6 dimensiones.

(Editado para incluir el grado de restricciones en el último párrafo).

Answer 2

En sus ejemplos, la acción de G sobre sí mismo se extiende a P^n. Debemos ser capaces de clasificar tales casos. Sato y Kimura clasificado grupo de representaciones con un denso grupo de órbita. No debe ser demasiado duro ampliar su trabajo para clasificar las representaciones con una densa órbita.

Si no requiere que la acción de G sobre sí mismo se extiende al espacio proyectivo, entonces sospecho que hay un montón de ejemplos más que no estamos pensando.

EDITADO para mayor claridad.

Answer 3

Uno puede obtener algunas de las restricciones de G mediante el cálculo de H^i(P^n - H, Z) para i = 1,2.

Si H es reducible, entonces sigue H^1 es infinita por lo que G no puede ser semisimple. En hecho de su solución radical debe contener no trivial de toro. Otro ejemplo con H reducible (además de tori) es GL_n sí mismo; es un subconjunto de A^{n^2} por lo tanto también de P^{n^2).

Si H es irreducible entonces H_1(P^n - H, Z) es Z/dZ donde d es el grado de H. por Lo que la solución radical de G debe ser nilpotent. El cociente Q de G por su radical es semisimple y ha \pi_1 = H_1 = Z/dZ. Si d > 4 se deduce que este sólo puede suceder si Q tiene un no-trivial cociente de tipo A_l para algunos l en cuyo caso también puede enlazado d en términos de n (desde el centro de SL_n es isomorfo a Z/nZ).

Me imagino que la única semisimple grupos que se producen son PGL_n pero no estoy es realmente seguro,

Answer 4

Yo definitivamente no tiene una solución (que hacen de este un comentario, si yo tenía la reputación), pero quizás sería útil considerar que afín algebraica de los grupos puede ser incrustado en este camino. Así, por ejemplo, PARA(n) tendría que ir en n(n-1)/2 dimensiones proyectivas de espacio de menos de una hipersuperficie. Así, por ejemplo, por LO que(2) P^1 menos de una hipersuperficie, pero esto no puede ser para irreductible H, P^1 menos en un punto es simplemente conectado, pero por LO que(2) no lo es. De hecho, no puede ser un subconjunto de P^1 en todo. No tengo mucho más que lo que yo puedo añadir, salvo que sabemos cómo funciona para Un^1 y G_m, PGL(n), así que podemos empezar a averiguar lo que ocurría por etapas, buscando en las clases de grupos y determinar cuando se puede estar incrustado en este camino. Tal vez hay más sabe acerca de incrustaciones algebraicas lineales grupos como cuasi-proyectiva variedades?