He visto un ejercicio que pretendía encontrar enteros todos enteros $m,n$ satisfacción $2m^2 + 5n^2 = 11(mn-11)$. Los encontré usando la factorización $(m-5n)(2m-n)=-11\cdot 11$. Sin embargo, ¿qué tipo de métodos que son resolver el problema original, encontrar satisfacción todas las $(m,n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ $2m^2+5n^3=11(mn-11)$? No resolví muchas ecuaciones de Diophantine cúbicas por lo que me estaba preguntando si existe alguna transformación birracional para convertir la ecuación a una forma de una curva elíptica de Weierstrass.
Respuesta
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La ecuación de $2y^2+5x^3=11(xy−11)$ describe una curva elíptica. Dado cualquier curva elíptica, se puede realizar un cambio de variables para ponerlo en forma de Weierstrass, y si el campo de la definición de característica distinta de 2 o 3, incluso se puede poner en la forma $y^2 = x^3 + ax + b$. En este caso particular, para buscar la transformación es fácil: en primer lugar la escala de $x$ $y$ a deshacerse de los coeficientes de $x^3$ e de $y^2$ igual a 1. A continuación, escriba $y' = y + \alpha x$ a deshacerse de la $xy$plazo. Esto llevará a una $x^2$ plazo. Así que ahora, traducir $x$ a deshacerse de la $x^2$ plazo (realmente no he hecho el cálculo).
Una cosa importante a destacar es que mientras que la noción de puntos racionales no depende de la modelo a través del $\mathbb{Q}$ que están trabajando con (mientras que sólo el cambio de variables a lo largo de $\mathbb{Q}$), la noción de integral puntos no depende de el modelo integral. Un teorema de Siegel dice que en cualquier modelo de Weierstrass de una curva elíptica, hay sólo un número finito integral de los puntos, y no hay límites de su altura en términos de los coeficientes del modelo. Pero hasta donde yo sé, para encontrar los puntos se reduce a la fuerza bruta métodos: por ejemplo, si te las arreglas para calcular los generadores de Mordell-Weil grupo, es decir, el grupo de puntos racionales, y la torsión de los subgrupos, entonces usted acaba de comprobar todas las posibles combinaciones lineales de hasta el dado obligado. Hay mejores métodos para el uso de elíptica logaritmos, pero son teóricamente más involucrados.
Edit: algo más de información en el concreto de la curva: Para obtener un modelo de Weierstrass puede reemplazar $y$ $y'/20$ $x$ $-x'/10$ en la ecuación original, lo que resulta en $y'^2+11x'y' = x'^3 - 2^35^211^2$, lo que confirma su pista. La curva elíptica tiene rango 1, como usted dice, y no de torsión. El punto de $P=(22,-88)$ genera todos los puntos racionales de la curva bajo la ley. Integral de soluciones de la ecuación original se corresponden con los puntos en el modelo de Weierstrass integral a $x$-coordinar divisible por 10 y la integral de la $y$-coordinar divisible por 20 (ver nuestra transformación). Por lo que el ingenuo manera de descartar soluciones integrales a la ecuación original es comprobar todos los múltiplos de el generador de $P=(22,-88)$ en el grupo de la ley de seguridad del obligado y de convencerse de que no hay ningún punto satisface los criterios de divisibilidad. Sin embargo, la cota de Baker, que se refiere en el artículo de la wikipedia, es enorme y la computación en realidad no podría ser factible. Posiblemente el enfoque más prometedor es el escribir el polinomio que calcula el $Q\mapsto Q\oplus P$ y ver si esta operación siempre se introduce más y más denominadores que nunca cancelar los numeradores.
