Profundidad de la piel de la densidad de corriente en el conductor magnético en el límite entre dos materiales distintos

Question

Imagina un magnético conductor cilíndrico de sección cruzada, rodeado por una bobina con una corriente variable de $$I = I_0\cdot \cos (2\pi f t)$$ El conductor está dividida en dos partes, la primera con una conductividad y permeabilidad relativa de $\kappa, \mu$, la segunda con $4\kappa, \mu$. Hay un campo magnético $B$ a través del conductor, que es causada por la corriente y por lo tanto variable de tiempo así: $$B = B_0\cdot \cos (2\pi f t)$$

El cambio de este campo magnético induce un voltaje en el interior del material y las causas de una densidad de corriente de $J$. Esta densidad de corriente tiene el valor de $J_1$ en la superficie de la izquierda del conductor y $J_2$ en el lado derecho.

La profundidad de la piel $\delta$ está definido por la distancia desde la superficie en donde se $J = 0.37 \cdot J_1$$J = 0.37 \cdot J_2$ , $0.37 = 1/e$ y también:

$$\delta = \frac{1}{\sqrt{\pi f\kappa\mu}} = \frac{\sqrt{2j}}{\alpha}$$

donde un $\alpha$ es la constante de propagación. Me enteré por la simulación, que en el límite entre los dos materiales, el azul y el naranja, se aplica:

$$\frac{1}{\delta_{12}} = \frac{1}{2}(\frac{1}{\delta_{1}}+\frac{1}{\delta_{2}})$$

y por lo tanto

$$\alpha_{12} = \frac{1}{2}(\alpha_1 + \alpha_2)$$

Pero realmente estoy luchando para demostrar que. Alguien puede darme algunos consejos de cómo podría conseguir estas relaciones analíticamente?

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Aquí otra parcela:

La superior muestra la densidad de corriente en la superficie. La segunda muestra el contorno de la línea donde la densidad de corriente acerca de la disminución de la $63\% = skin depth$. En $z=0$ es el límite entre los dos materiales. A pesar de que la densidad de corriente es una función de paso, la profundidad de la piel es continua y tiene el valor de$\delta_{12}=\frac{2}{\frac{1}{\delta_{1}}+\frac{1}{\delta_{2}}}$$z=0$.

Answer 1

Bueno, espero no ir demasiado lejos de la pista. Estoy abierto a la discusión.(posible vía de solución en la parte inferior)

Buscando la fórmula para $\delta$ veo que está relacionado con la velocidad de las ondas electromagnéticas en el medio. La velocidad de propagación en un medio con las propiedades de $\kappa_1$ $\mu_1$ es: $$c_1=\frac{1}{\sqrt{\kappa_1\mu_1}}$$ Por lo tanto podemos reescribir como: $$\delta=\frac{1}{c\sqrt{\pi f}}$$ Mira, me gustaría tener el $\omega$ en lugar de $f$: $$\delta=\frac{\sqrt{2}}{c\sqrt{\omega}}$$ Permite la plaza: $$\delta^2=\frac{2}{c^2\omega}$$ Lo que se mantiene igual, supongo que su $\omega$: $$\omega=\frac{2}{c^2\delta^2} $$ La frecuencia es la misma en todas partes, por lo que es: $$\frac{1}{c_1^2\delta_1^2}=\frac{1}{c_2^2\delta_2^2} $$ o: $$\frac{c_2}{c_1}=\frac{\delta_1}{\delta_2} $$ Así que ahora que en realidad se reduce a un problema de encontrar la velocidad de propagación de la EM-ondas en la interfaz. Que no va a ayudar directamente, pero me da que otra idea.

Ahora me sugieren para mirar similar a un semiconductor PN de unión problema, y calcular el cambio de $\kappa$ en la interfaz debido a las diferencias en la densidad de partículas cargadas. La deriva de las corrientes va a hacer la compensación de carga en la interfaz.

Por lo que la difusión de la corriente es: $$I_{diff}=qD\frac{dn}{dx}$$ El uso de esta fórmula de obtener algunos de los actuales, esto afecta el local $\kappa$ y crea un $\kappa'$. Utilizando este valor debe obtener el $\delta$ sobre el límite(e incluso de la dependencia funcional de la distancia de la interfaz).