Norma $\Vert \cdot \Vert$ en el grupo simétrico $S_n$

Question

Si definimos una función con valores reales $\Vert \cdot \Vert$ $n^{th}$ orden grupo simétrico $S_n$ satisfacer las siguientes condiciones $$\begin{align} & \|x\|=0\iff x=\omega\,\,\,(\text{identity permutation})\\ & \|x\|=\|x^{-1}\|\,\,\,\,\,\forall x\in S_n\\ & \|x*y\|\le\|x\|+\|y\|\,\,\,\,\,\forall x,y\in S_n \\ \end{align}$$ a continuación, $\|.\|$ es una norma en $S_n.$
También se $\color{Blue}{d_1(x,y)=\|xy^{-1}\|}$ $\color{Green}{d_2(x,y)=\|x^{-1}y\|}$ se convierte en dos normas en $S_n.$
(similar a la del vector de normas.)

Por lo tanto el uso de una norma de la función ( función de la satisfacción de las condiciones anteriores) podemos convertir cualquier grupo finito en un espacio métrico.

Por ejemplo, los siguientes trivial norma función inducida por trivial métrica en $S_n.$ $$\left. \begin{array}{l} \text{if %#%#% :}&1\\ \text{if %#%#% :}&0 \end{array} \right\} =\|x\|$$ Mis preguntas son
1. ¿Existe algún no-ejemplos triviales de la norma de las funciones ?
2. Podemos encontrar un ejemplo claro ?

Answer 1

Una función de la satisfacción de los axiomas que aparece se llama a una función.

Para $S_n$, la longitud de la palabra sería un ejemplo.

El grupo simétrico $S_n$ es generado por los elementos de a $s_1, \ldots, s_{n-1}$ donde $s_i$ es la transposición $(i,i+1)$. Definir la longitud de la palabra de un elemento $w$ $S_n$ a ser el más pequeño $\ell$, para los que hay una descomposición $$ w=s_{i_1}s_{i_2}\cdots s_{i_\ell} $$ para algunos $i_1, \ldots i_\ell\in \{1, \ldots, n-1\}$. Definir la longitud de la palabra de la identidad de permutación para ser $0$.

A continuación, los tres axiomas mencionados en tu pregunta son satisfechos por la longitud de la palabra. Por lo tanto es un ejemplo no trivial de la norma en $S_n$ (a excepción de los casos $n=1$$n=2$; en la primera, todas las normas son triviales, y en el segundo, todas las normas que son múltiplos de la trivial norma).