Atiyah Macdonald - 2.15 (límite directo)

Question

Atiyah-Macdonald libro de construcciones directa el límite de un sistema dirigido a $(M_i,\mu_{ij})$, (donde $i\in I$, una dirigida conjunto, y $i\leq j$) $A$- módulos como el cociente $C/D$ donde $C=\oplus_{i\in I} M_i$, e $D$ es el submódulo generado por todos los elementos de los formularios $x_i-\mu_{ij}(x_i)$ donde $x_i\in M_i$ algunos $i$ y $i\leq j$. $\mu:C\longrightarrow M$ ser el mapa de proyección, y deje $\mu_i$ ser la restricción de $\mu$ $M_i$(que se identifica con su imagen en directo el límite).

Ahora el ejercicio 2.15 nos pide demostrar la siguiente muestra que si $\mu_i(x_i)=0$ existe $j\geq i$ tal que $\mu_{ij}(x_i)=0$.

He intentado lo siguiente. $\mu_i(x_i)=0$ implica que el $x_i\in D$. Que es $x_i$ es una suma finita de los elementos de la forma $a_l(x_l-\mu_{lk}(x_l))$, donde $a_l\in A$, $x_l\in M_l$ y $k\geq l$. Por eso, $x_i=\Sigma_{i=1}^{n} a_{l_i}(x_{l_i}-\mu_{{l_i}{k_i}}(x_{l_i}))$. No sé cómo proceder para encontrar el índice de $j$ que $\mu_{ij}(x_i)=0$. ¿Cómo debo proceder? Cualquier ayuda será muy apreciada!

Answer 1

Asumir el valor de $n$ para nuestra opción de expansión de $x_i$ es mínima y absorber el % de coeficientes $a_l$: $$x_i=\sum_{j=1}^ny_{l_j}-\mu_{l_jk_j}(y_{l_j}).$$ Now, remember that you are expanding $x_i$ in the direct sum $\oplus_{j\in I} M_j$. Thus, in your expansion, $y_l\ne 0$ if and only if $l=i$ (this is where we use the minimality of $n$, see comments). After simplifying, we have $x_i=y_i-\mu_{ik} (y_i) $, so $x_i-y_i=-\mu_ {ik} (y_i) \in M_k$.

Si $i\ne k$, entonces el $x_i-y_i=0$, lo que implica $0=\mu_{ik}(x_i)$. Por otra parte, $x_i-y_i=-y_i$, lo que implica $\mu_{ii}(x_i)=x_i=0$.