¿Qué significa (en una forma matemáticamente rigurosa) para reclamar que algo es "genérico"? ¿Esto coincide con la topología de Zariski?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El término genérico que se aplica generalmente a algo que ocurre en un abierto denso conjunto de espacio. La idea es que se abra densos conjuntos son grandes subconjuntos del espacio. En efecto, han cerrado bajo intersecciones finitas y, por tanto, forman una base para un filtro de subconjuntos del espacio.
A veces, el término se aplica más generalmente a algo que ocurre en una contables intersección de abiertos densos conjuntos (una densa Gδ ) de espacio. Generalmente, esto es, en el contexto de un completo espacio métrico o localmente compacto Hausdorff espacio para que la Categoría de Baire Teorema se aplica.
El punto genérico es un (a veces ficticio) en el punto que se encuentra en cada abierto denso conjunto del espacio. Irreductible sobrio espacios siempre tienen un punto genérico, es el único punto de cuyo cierre es el de todo el espacio. El único espacio de Hausdorff con un punto genérico es el de un punto del espacio.
Ficticio genérico puntos tienen una variedad de usos. Generalmente uno de los medios a un punto que se encuentra en todos los abiertos densos conjuntos que se consideran en el argumento actual, sin especificar el abierto denso de los conjuntos en cuestión. Esto está bien porque la intersección de un número finito (o incluso countably muchos en el caso de Baire espacios abiertos densos conjuntos se garantiza que sea no vacío.
YequalsX
Puntos
320
Genérico que tiene diferentes significados en diferentes ramas de la geometría. En la geometría algebraica, por lo general significa que la propiedad en cuestión tiene un Zariski denso conjunto abierto. En otros contextos geométricos, podría también que la propiedad tiene un denso conjunto abierto (en lo que es el natural de la topología de bajo consideración), pero también puede significar que se sostiene en una contables intersección de estos conjuntos. (La razón para considerar tales intersecciones como es de grande motivados por la categoría de Baire teorema, que dice que en razonable contextos el complemento de un conjunto de este tipo será muy "fino", en algún sentido.)
Brian Vallee
Puntos
61
En general, si algo es "genérico", lo que quiere decir que pasa o que es verdadero "casi todo el tiempo" o "casi en todas partes".
En teoría de la medida, por ejemplo, cuando digo "$P(x)$ es cierto para casi todos los $x$", tiene el significado preciso que el conjunto de $x$'s para que $P(x)$ no posee tiene medida cero.
Se puede relacionar esta a la topología de Zariski por el hecho de que Zariski cerrado subconjuntos de a $\mathbb{C}^n$ tiene medida de Lebesgue cero: http://mathoverflow.net/questions/25513/zariski-closed-sets-in-cn-are-of-measure-0
Vea también estos MO puestos:
http://mathoverflow.net/questions/19688/what-does-generic-mean-in-algebraic-geometry
*o tal vez debería decir... genéricamente ;-)
