¿Cómo solucionarlo?

Question

¿Cómo serían capaces de resolver para n en esta configuración?

$$8n^2=64n\cdot \log_2(n)$$

He intentado toneladas de soluciones paso a paso online pero el único que dio fue wolfram, pero no puedo ver la solución paso a paso.

¡Cualquier ayuda será apreciada!

Answer 1

Puede simplificar $n$ de ambos lados ($n=0$ no es una solución aceptable) para obtener $$8n=64\log_2{n}\iff \frac{8n}{64}=\log_2{(n)}\iff2^{\frac{n}8}=2^{\log_2(n)}\iff 2^{\frac{n}{8}}=n\iff2^n=n^8$$ So, you are looking for the zeros of $f # (n) =2^n-n^8$. This function has two solutions, which are approximately $n_1=1.0999$ and $n_2=43.559$. Sin embargo, no creo que hay métodos que numérica que pueden solucionar este problema.

Answer 2

Ciertamente no podemos tener $n=0$, por lo que una división es segura. Al dividir por $8n$ obtenemos

$$ n = 8 \log_2 n $$

que es una ecuación no lineal. Usted puede intentar métodos de punto fijos o método de Newton hasta solucionar el problema. Como dice Jimmy, no creo que esto se puede hacer analíticamente.

Answer 3

En lugar de métodos numéricos, también se puede expresar la solución en términos de la función W de Lambert. En cierto sentido, se puede pensar en esta idea, como alguien ha tabulado la solución a la función W de Lambert numéricamente y que son simplemente la reutilización de su trabajo. La función W se define por la relación, $W(z e^z) = z$. Otra manera de entender esta relación es que si $W(k) = z$$k = z e^z$.

Volviendo a su pregunta,

$n = 8\log_2(n) \Leftrightarrow \frac{n}{8} = \frac{\ln(n)}{\ln(2)} \Leftrightarrow -\frac{\ln(2)}{8} = -\ln(n)\frac{1}{n} \Leftrightarrow -\frac{\ln(2)}{8} = \ln(\frac{1}{n})e^{\ln(\frac{1}{n})}$

Así, observando que en el $z = \ln(\frac{1}{n})$$k = -\frac{\ln(2)}{8}$, obtenemos

$W(-\frac{\ln(2)}{8}) = \ln(\frac{1}{n}) \Leftrightarrow n = e^{-W(-\frac{\ln(2)}{8})} $

Answer 4

Considere la ecuación $$0=8x^2-64x\, \log_2(x)=8x(x-8\;\log_2(x))=8 x \left(x-\frac{8 \log (x)}{\log (2)}\right)$$ So, there is the trivial solution $x=0$.

Ahora, considere la función $$f(x)=x-\frac{8 \log (x)}{\log (2)}\implies f'(x)=1-\frac{8}{x \log (2)}\implies f''(x)=\frac{8}{x^2 \log (2)}$$ The first derivative cancels at $x=\frac{8}{\log (2)}$ and the second derivative test shows that this point corresponds to a minimum $$f\left(\frac{8}{\log (2)}\right)=\frac{8 }{\log (2)}\left(1+\log \left(\frac{\log (2)}{8}\right)\right)\approx -16.6886 <0$$ So, there are two roots to $f(x)=0$.

Como ya se dijo en los comentarios y respuestas, para calcular las raíces, una de las soluciones que se basa en métodos numéricos (Newton por ser probablemente el más simple). Una rápida parcela de la función muestra una raíz cerca de $1$ y el otro cerca de la $50$.

Partir de una "razonable" adivinar $x_0$, método de Newton se actualizará de acuerdo a $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ In your case, this would give $$x_{n+1}=\frac{8 x_n (\log (x_n)-1)}{x_n \log (2)-8}$$

Para la primera raíz, vamos a empezar usando $x_0=1$. Método de Newton, se generará el siguiente iteración $$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 1.0000000000000000000 \\ 1 & 1.0948626170101320293 \\ 2 & 1.0999837708827475300 \\ 3 & 1.0999970301492763006 \\ 4 & 1.0999970302376094009 \end{array} \right)$$

Para la segunda raíz, vamos a empezar usando $x_0=50$. Método de Newton, se generará el siguiente iteración $$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 50.000000000000000000 \\ 1 & 43.695596437287775210 \\ 2 & 43.559336941386572072 \\ 3 & 43.559260436905874322 \\ 4 & 43.559260436881656414 \end{array} \right)$$

La otra solución es el uso de Lambert función y las soluciones que se dan por $$x_1=-\frac{8 }{\log (2)}W\left(-\frac{\log (2)}{8}\right)\qquad , \qquad x_2=-\frac{8 }{\log (2)}W_{-1}\left(-\frac{\log (2)}{8}\right)$$

Más pronto o más tarde, usted va a aprender que cualquier ecuación que se puede escribir o reescribir como $$A+Bx+C\log(D+Ex)=0$$ tiene solución(s) que puede ser expresada en términos de la función de Lambert.