Seguimiento de un colector es cero - pero, ¿y el colector de $x$$p$?

Question

Los operadores pueden ser cíclicamente intercambiados dentro de la huella:
$${\rm Tr} (AB)~=~{\rm Tr} (BA).$$

Esto significa que el seguimiento de un conmutador de dos operadores es cero:
$${\rm Tr} ([A,B])~=~0.$$

Pero, ¿y el conmutador de la posición y el impulso de los operadores para una partícula cuántica?

Por un lado: $${\rm Tr}([x,p])~=~0,$$
mientras que en el otro lado: $$[x,p]~=~i\hbar.$$

¿Cómo funciona esto?

Answer 1

$x$ $p$ no tienen finito de representaciones tridimensionales. En particular, $xp$ $px$ no son "seguimiento de la clase". Vagamente, esto significa que las huellas de $xp$ $px$ ambos son infinitos, aunque lo mejor es tener ambos a ser indefinido. Una vez más débilmente, si le resta $\infty-\infty$, que sin duda puede llegar a $i\hbar$. Pero no se debe. Todo funciona si usted piensa de $p$ como un complejo de varias de el operador de la derivada, para que $\frac{\partial}{\partial x}$ $x$ act en el infinito de dimensiones del espacio de polinomios en $x$.

Answer 2

Después de leer @Peter Morgan respuesta, y dándole un poco más de pensamiento, creo que esto es más sencillo de lo que parece a primera.

Para finito-dimensional espacios de la traza de un colector de hecho es siempre cero. Infinitas dimensiones de los espacios de la traza no es siempre definido, ya que toma la forma de una suma infinita (para contables dimensión) o integral (continua dimensión) que no siempre convergen.
Cuando el seguimiento se define, obedece a las mismas reglas que en dimensión finita, específicamente el rastro de un colector es igual a cero. Para los operadores, tales como $x$, $p$ y de sus productos, la traza simplemente no está definido, por lo que no hay sentido en la formulación de preguntas acerca de ella.
Cuando la informática térmica de los promedios, el factor de $e^{-\beta H}$ asegura que la traza converge, ya que la energía está siempre obligado desde abajo (de lo contrario el sistema no físico).

Estoy seguro de que los conceptos mencionados por @Peter Morgan son importantes en este contexto (acotamiento, KMS condición), pero no sé nada acerca de ellos, y creo que la respuesta yo solo basta con fines prácticos.

Answer 3

Creo que el problema deriva de la acción del operador $\hat p$. Por favor me corrija si me equivoco.
La acción del operador $\hat p$ en el espacio cuántico se define como
$<x|\hat p|a>=-i \hbar \partial_x <x|a>$
si el estado $|a>$ no depende de x. De hecho, si el estado $|a>$ dependía de la $x$, como por ejemplo $|a>=f(x)|b>$ para cualquier función escalar $f(x)$, entonces es claro que la ecuación
$<x|\hat p|a>=<x|\hat p f(x)|b>=-i \hbar \partial_x <x|f(x)|b>= -i \hbar \partial_x (f(x) <x|b>) $
estaría mal definida, ya que podrían ser evaluadas en otra forma diferente: $<x|\hat p|a>=<x|\hat p f(x)|b>=f(x) <x|\hat p |b>=f(x)(-i \hbar) \partial_x <x|b>$
La segunda evaluación proviene del hecho de que, en el Estándar de la Mecánica Cuántica, se postula que cualquier operador actúa sobre ket vectores y no en escalares (con la excepción de la inversión de Tiempo del operador, que no es de uso aquí).

El colector de relación $\left[\hat x, \hat p\right]=i\hbar$ se obtiene a partir de la acción del operador $\hat p$ como se define arriba. Por lo tanto, se trata inequívoca que tal conmutación relación no puede ser utilizado generalmente en un producto escalar ($<x|...|ket>$) si el ket estado en el derecho depende de la $x$.

Habiendo dicho que, al realizar la traza del colector $\left[\hat x, \hat p\right]$, por lo que están haciendo
$Tr\Big[\left[\hat x, \hat p\right]\Big]=\int dx <x|(\hat x\hat p-\hat p\hat x)|x>=\int dx <x|(x\hat p-\hat p x)|x>$,
donde en el último paso anterior sólo he extraído los valores propios de los autoestados $|x>$. En la ecuación anterior se tiene un producto escalar donde el ket en el derecho depende de la $x$. Por lo tanto, usted tendrá que tener cuidado en la evaluación y usted no puede usar el $xp$-relaciones de conmutación de inmediato. Con un poco de cuidado, todo el mundo puede ver a partir de la ecuación anterior que, de hecho, la traza se da cero
$\int dx <x|(x\hat p-\hat p x)|x>=\int dx \,x<x|(\hat p-\hat p )|x>=0$,
como debería.
Mientras que, si se hubiera usado la $xp$-relaciones de conmutación desde el principio, usted tendría erróneamente encontrado
$Tr\Big[\left[\hat x, \hat p\right]\Big]=Tr\Big[i\hbar\Big]=i\hbar$.

Editado después de que Joe Comentario
En la última ecuación se me olvidó la dimensionalidad del espacio. Debe ser modificado como $Tr\Big[\left[\hat x, \hat p\right]\Big]=Tr\Big[i\hbar\Big]=i\hbar\,D$
donde $D$ son las dimensiones del espacio cuántico está tomando la traza. Gracias Joe.

Answer 4

Cuando algo no sale complicado, no siempre se basan en "infinito, indefinido, etc" para obtener más contradicciones fácilmente. Lo que te han dicho puede no ser el correcto para siempre. Así que ir valiente, usted puede descubrir algo nuevo o encontrar una mejor explicación. No tengo una buena respuesta aquí. Pero lo que creo que es de esta manera.

Si el $\infty_1-\infty_2$ te da un $i\hbar$, entonces el Tr{$\infty_1$}-Tr{$\infty_2$} debe de dar algo coherente. Pero, por desgracia, no en este caso. Entonces empiezo a preguntarme si todos los operadores lineales tienen bien definida la forma de la matriz. Que no puede ser neccesarily verdadero. Supongo que tiene, al menos, el espacio de Hilbert la forma de la matriz, de infinitas dimensiones de las matrices pueden tener algunas diferencias en las operaciones algebraicas de finito dimensionales de las matrices. Pero la traza operador solo está bien definido en finito dimensionales de las matrices. ¿O debería comportarse de la misma manera más de infinitas dimensiones de las matrices?

Si el original de la definición de algún concepto que falta en el espacio más grande, usted puede considerar la posibilidad de ampliar su definición para tratar de encajar todo muy bien!-:)