Una pregunta con respecto a la expansión de series de potencias de una función entera

Question

Que $f$ ser un todo y dejar que cada $a\in \mathbb R$, existe al menos un coeficiente $c_n$ $f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n$, que es cero. Entonces

1. $f^{(n)}(0)=0$ para infinitamente muchos $n\geq 0$

2. $f^{(n)}(0)=0$ cada $n\geq 0$

3. $f^{(2n+1)}(0)=0$ cada $n\geq 0$
4. Existe $k\geq 0$ tal que $f^{(n)}(0)=0$ % todo $n\geq k$

Sabemos que $c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ % todos $n\in \{0,1,2\ldots\}$. Así para $a=0$, $c_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$. Por hypothersis, al menos un $c_n=0$. Después de yo no pude hacer nada. Por favor ayuda!

Answer 1

Que $A_n =\{z\in \mathbb{C} : f^{(n)} (z) =0 \}.$ por supuesto $$\mathbb{R} =\bigcup_{n\in\mathbb{N}\cup \{0\}} A_n $$ and since $ \mathbb{R} $ is uncountable at least one of the sets $ A_n $ is uncoutable. Let $$k=\min\{ n\in\mathbb{N}\cup \{0\} :\mbox{card}(A_n ) >\aleph_0 \}$$ then the set $ A_k$ is uncountable and therefore it has an accumulation point. Hence the $f^{(k)} (x) $ is identically zero on $\mathbb{C}$ and therefore $f$ is an polynomial with degree less or equal to $k.$

Así que 1. y 4. son verdaderas.