¿Productos cruzados?

Question

Dicen que usted tiene vectores $v$$w$. Hágase la cruz del producto se denota por a $x$ por lo que:

$$v \times w = x$$

De acuerdo a Wikipedia:

$$x_x = v_yw_z - v_zw_y$$ $$x_y = v_zw_x - v_xw_z$$ $$x_z = v_xw_y - v_yw_x$$

Esto es equivalente a decir:

$$x_x = \left|\begin{matrix}v_y&v_z\\w_y&w_z\end{matrix}\right|$$ $$x_y = \left|\begin{matrix}v_z&v_x\\w_z&w_x\end{matrix}\right|$$ $$x_z = \left|\begin{matrix}v_x&v_y\\w_x&w_y\end{matrix}\right|$$

El determinante puede ser interpretado como el área generado por los vectores columna. Me podría dar una geométricas explicación de por qué el área de los de arriba vectores de dar las coordenadas de la cruz del producto? Gracias!

EDIT: Una interpretación de una matriz de 2x2 es demasiado fino

Answer 1

Que $P$ ser lo paralellogram atravesado por lo vectores $a$ y $b$% y dejó $\phi$el ángulo entre $a$y $b$. Entonces tenemos\begin{eqnarray*} (Area(P))^2 & = & |a|^2|b|^2(\sin(\phi))^2 \\ & = & |a|^2|b|^2-|a|^2|b|^2(\cos(\phi))^2 \\ & = &|a|^2|b|^2-(a\cdot b)^2 \\ & = & (a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2\\ & = &(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^.2 \end{eqnarray *} por lo que la zona de $P$ es igual a la longitud del vector $(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1) = a \times b$. Con las coordenadas que dio.

Answer 2

Hay una interpretación geométrica de este en términos de las áreas de las proyecciones del paralelogramo $P$ atravesado por $\bf{v}$ $\bf{w}$ a los planos de coordenadas. Deje $\bf{n}$ ser un vector unitario perpendicular al plano generado por $\bf{v}$$\bf{w}$. La proyección de este avión a la $yz$-plane es un mapa que disminuye el área por un factor de $\bf{i}\cdot \bf{n}=\bf{n}_x$ donde $\bf{i}=(1,0,0)$. Los dos planos se intersecan en una línea, para que la proyección conserva de longitud, y de una línea ortogonal a esta línea de intersección, la proyección se multiplica la longitud por $\bf{n}_x$, así que el área cambia por un factor de $\bf{n}_x$. Como nota, cada coordenada de la cruz del producto es el (firmado) el área del paralelogramo generado por las proyecciones de $\bf{v}$ $\bf{w}$ a cada plano de coordenadas (que son los vectores columna que se refieren). La longitud de la cruz del producto es $|\bf{n}|\cdot Area(P) = Area(P)$. Así que esto se deriva de esta fórmula (modulo signos) de la propiedad de que el producto cruzado $\bf{v}\times \bf{w}$ es perpendicular a $\bf{v}$$\bf{w}$, y tiene magnitud $|\bf{v}\times \bf{w}|=Area(P)$, hasta las opciones de signos. El signo opciones son forzados por la elección de un producto escalar, que por el cambio de los coeficientes puede ser de diferentes firmas.