Definición formal de la ecuación y desconocidos

Question

Me estaba preguntando acerca de la definición formal de la ecuación, me refiero en términos de la lógica y la teoría de los conjuntos. Supongamos por ejemplo que yo quería para definir una ecuación en $\mathbb{R}$, por supuesto, podría ser cualquier cosa en su lugar. Sé que cada número es un conjunto, y también sé que la igualdad de conjuntos ha sido definido previamente. Así que a menudo escucho a la gente decir algo así como "Una ecuación lineal es un objeto de la forma $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+ \cdots + a_{n}x_{n}=b$". Pero, ¿cómo justificar la parte de "$x_{i}$ es un desconocido". Porque en ese caso me gustaría también decir que el $3(2)+4(5)=0 $ es una ecuación.

Answer 1

Usted no encontrará una definición formal de "ecuación" y "desconocido", porque son parcialmente informales conceptos. La fórmula en el papel es lo que es: dos expresiones, generalmente contienen variables, acompañado por un signo de igual. Pero no hay ninguna regla fija que se dirá, de mirar la fórmula, que una de las variables (si los hubiera) son incógnitas.

Ser un "desconocido" es no una propiedad de una variable o de una fórmula. Expresa algo acerca de lo que ustedes, los humanos matemático mirando la intención de hacer con la ecuación. Las funciones de incógnitas y constantes puede cambiar simplemente por el hecho de cambiar tu mente.

Por ejemplo, si estamos buscando la fórmula $$ x^2+y^2=1 $$ podemos elegir a "resolver para $x$", es decir, el tratamiento de la variable $x$ como un desconocido y todo lo demás como constantes, y no nos gustaría terminar con $x=\pm\sqrt{1-y^2}$ - o que podría haber hecho una elección diferente final con $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ lugar. Ninguno de los enfoques para la fórmula es objetivamente correcto o incorrecto. Uno de ellos puede llevarnos más cerca de lo que nuestra meta final es, pero la fórmula en sí, no sabes lo que el objetivo final es.

En particular, cuando decimos "tratar a $x$ como un desconocido", no hay ninguna implícita "... aunque en realidad no lo es". Nada es un desconocido en sí mismo; las variables son incógnitas cuando y si elegimos a tratarlos como uno.

También tenga en cuenta que el formal de las reglas de lo que se puede hacer de una fórmula que no distingue entre los datos y las incógnitas. Podemos siempre reemplace$(p+q)^2$$p^2+q^2+pq+qp$, no importa si $p$ $q$ son conocidos, desconocidos, o cosas complejas construido a partir de varios de cada uno.

Answer 2

Escoger un conjunto de $x$ que es diferente de todos los números que queremos usar y considerarla como un desconocido en el formalismo. Entonces, para un $n\in\Bbb N$, $\ x_n:=\langle x,n\rangle$ (par ordenado).

Entonces, definir términos como secuencias finitas, utilizando estas variables, tal vez los números y los símbolos de operación (para estos, un nuevo, hasta ahora puede utilizarse).

Entonces, una ecuación sería un % del par ordenado $\langle\tau,\sigma\rangle$de términos. Su significado se define entonces directamente.

Answer 3

Yo diría que una ecuación es un predicado lógico. Es decir, una sentencia abierta que tiene valor de verdad está determinada por algunas entradas p. ej.

$$P(x) \ : \ x + 2 = 4$$

donde $x$ pertenece a un dominio. Para resolver una ecuación es encontrar la tabla de verdad (posiblemente infinitamente larga) para este predicado.