¿Existe una noción común de $\mathbb{R}^n$, no entero $n$?

Question

Esto no es un muy bien definido pregunta.

¿Hay alguna norma de las construcciones de la métrica de los espacios, con parámetros por valor real $n \ge 1$, tal que:

1. Al $n$ es un número entero, la métrica del espacio es, precisamente,$\mathbb{R}^n$.
2. Al $n$ no es entero, el espacio métrico puede ser visto como una generalización razonable de $\mathbb{R}^n$. Por ejemplo, tal vez se ha dimensión de Hausdorff de $n$.

Alternativamente, una no-existencia con el resultado que usted no puede mantener algunas de las propiedades importantes de $\mathbb{R}^n$ en una generalización como esto sería interesante para mí.

Answer 1

No hay espacio topológico $X$ tal que $X\times X\cong\mathbb{R}^n$ si $n$ es un entero impar. Usted puede comprobar esto mediante homología; véase, por ejemplo, esta respuesta en MathOverflow. En particular, esto parece bastante buena evidencia de que no es razonable noción de "$\mathbb{R}^{n/2}$" al $n$ es un entero impar. Por similares homología de argumentos se puede demostrar que si $n$ no es divisible por $m$, entonces no hay ningún espacio $X$ tal que $X^m\cong\mathbb{R}^n$, así que no hay buen topológico candidato para $\mathbb{R}^{n/m}$.

Estos topológico obstrucciones a un lado, puedo decir que si hay una "noción común" de $\mathbb{R}^n$ para los no-entero $n$, no puede ser demasiado común, porque nunca he oído hablar de él.